n 次迭代的求法

这一招在做什么

一层一层地复合，$n$ 一大就算不动了。要直接写出 $f^{(n)}(x)$，常用三种办法：

1. 先猜后证：算出 $f^{(1)},f^{(2)},f^{(3)}$，猜出规律，再用数学归纳法证明。
2. 不动点法：解 $f(x^{\ast })=x^{\ast }$。对一次函数 $f(x)=ax+b$ 有 $f(x)-x^{\ast }=a(x-x^{\ast })$——以 $x^{\ast }$ 为原点看，$f$ 只是“乘以 $a$”，于是 $f^{(n)}(x)-x^{\ast }=a^n(x-x^{\ast })$。
3. 桥函数（相似）法：找一个可逆的 $\phi$ 和一个好迭代的 $g$，使 $f={\phi }^{-1}\circ g\circ \phi$。中间的 $\phi \circ {\phi }^{-1}$ 两两抵消：

$$f^{(n)}={\phi }^{-1}\circ g^{(n)}\circ \phi .$$

操作台左边的表是“笨办法”——真的复合 $n$ 次；右边是公式。“公式 = 逐次复合？”那个指示灯，就是对公式的一次检验。

先猜后证

$f(x)=3x-2$。$f^{(4)}(0)$ 等于多少？

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

第三种常见的桥是取倒数：$f(x)=\frac{x}{1+cx}$ 时 $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x}+c$，倒数每次加 $c$，所以 $f^{(n)}(x)=\frac{x}{1+ncx}$。在操作台里选 $x/(1+cx)$ 验证。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

条件：$a\ne 1$，所以 $f(x)=ax+b$ 有不动点 （保留）

结论：$f^{(n)}(x)=a^n(x-x^{\ast })+x^{\ast }$

$a=\frac{1}{2},b=2$：不动点 $x^{\ast }=4$，公式成立。

图形加载中…

练一练

练习 1基础

$f(x)=3x+2$。求 $f^{(5)}(0)$。

检查

练习 2基础

$f(x)=\frac{x}{1+2x}$。求 $f^{(10)}(1)$。

检查

练习 3提高

$f(x)=x^2+4x+2$。求 $f^{(3)}(0)$，并写出 $f^{(n)}(x)$。

检查

练习 4挑战

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。求 $f^{(99)}(1)$。

检查