单调性

观察

在 $[- 1, 1]$ 里随便放两个点。差商 $\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ 的值始终是什么符号？
把两个点都拖到 $x = 1$ 右边，“这一对点说”的结论变了吗？
看右边的因式 $x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 3$ 。两个点都在 $[- 1, 1]$ 里时，它能不能变成正的？
换到 $\frac{1}{x}$ ，取 $x_{1} = - 1$ 、 $x_{2} = 1$ 。这一对点说什么？

设函数 $f (x)$ 的定义域包含区间 $I$ 。如果对 $I$ 中任意两点 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，就说 $f (x)$ 在 $I$ 上是增函数；都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，就是减函数。等价地，看差商的符号：

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} > 0 （增） 或 < 0 （减） .

先猜后证

$f (x)$ 是 $R$ 上的增函数， $a$ 是实数。 $f (a^{2} + 1)$ 与 $f (2 a)$ 的大小关系是？

f (a^{2} + 1) > f (2 a)

f (a^{2} + 1) \geq f (2 a)

f (a^{2} + 1) < f (2 a)

无法确定

先选定答案，才能看到结论。

为什么：作差、因式分解、定号

例：证明 f(x) = x³ − 3x 在 [−1, 1] 上是减函数

第 1 / 5 步

任取两点
在 $[- 1, 1]$ 里任取 $x_{1} < x_{2}$ ，要证 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 。图上这一对是 $- 0.5$ 和 $0.5$ ：左高右低。但一对点不算数，我们要的是任意一对。

$- 1 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$
作差，提出 x₂ − x₁
判断第二个因式的符号
得出结论
离开这个区间

单调函数有几条常用的性质：两个增函数之和仍是增函数； $f$ 递增时 $- f$ 递减；复合函数 $y = f (g (x))$ 的单调性“同增异减”——内外两层同为增或同为减时复合后递增，一增一减时递减。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $f (x) = \frac{1}{x}$ 是减函数

在 $(0, + \infty)$ 的一段 $[0.5, 3]$ 上，任意两点都是“降”： $\frac{1}{x _{2}} - \frac{1}{x _{1}} = \frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} x _{2}} < 0$ ，因为 $x_{1} x_{2} > 0$ 。

练一练

练习 1基础

函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $[2, + \infty)$ 上是增函数。求 $a$ 的最大值。

练习 2基础

$f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，满足 $f (2 x - 1) > f (3)$ 的最大整数 $x$ 是多少？

练习 3提高

$f (x) = x^{5} + x^{3} + x$ 。满足 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ 的整数 $x$ 有几个？

练习 4挑战

$f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的增函数，对任意正数 $x, y$ 有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (2) = 1$ 。满足 $f (x) + f (x - 3) \leq 2$ 的 $x$ 中，最大的是多少？

观察

为什么：作差、因式分解、定号

例：证明 f(x) = x³ − 3x 在 [−1, 1] 上是减函数

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

两段都递减，就说在并集上递减

用几个特殊值“证明”单调