直线系

这一招在做什么

一条直线要两个条件才能确定。如果只给了一个条件，满足它的直线就有无数条，组成一个直线系：

过 l_{1}, l_{2} 交点的中心直线系（不含 l_{2} ） (A_{1} x + B_{1} y + C_{1}) + λ (A_{2} x + B_{2} y + C_{2}) = 0 与 A x + B y + C = 0 平行的直线系 A x + B y + C^{'} = 0

为什么前一个都过交点？交点 $P_{0}$ 代入 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的左边都得 $0$ ，于是 $0 + λ \cdot 0 = 0$ 对每个 $λ$ 都成立。做题分三步：

先猜后证

不论 $m$ 取什么实数，直线 $(1 + 2 m) x + (m - 1) y + m - 7 = 0$ 都经过同一个点。这个点是？

(2, - 5)

(- 5, 2)

(1, 1)

没有这样的点

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

写出直线系
$λ = 0$ 时就是 $l_{1}$ 本身。灰色的细线是 $λ$ 取其他值时的成员，它们都过同一个点。

$(x - y + 1) + λ (x + y - 3) = 0$
它们都过中心
用第二个条件定 λ
代回化简
λ 很大时

平行直线系更简单：只有常数项是参数。

与

3 x - 2 y = 0

平行的一族直线。拖

T

，再点“让它过 T”：

C^{'} = - (3 x_{T} - 2 y_{T})

。

Break it

结论： $l_{1} + λ l_{2} = 0$ 的每一个成员都是过同一点的直线

相交时， $λ$ 取任何值都是一条过中心的直线（只是永远取不到 $l_{2}$ ）。

练习 1基础

不论 $k$ 取何值，直线 $k x - y + 2 k + 3 = 0$ 都过一个定点。求这个点。（形如 (a,b)）

练习 2基础

求过直线 $2 x + y - 5 = 0$ 与 $x - 3 y + 8 = 0$ 的交点、且过原点的直线方程（一般式， $x$ 的系数为正，系数互质）。

练习 3提高

求过直线 $x + y - 2 = 0$ 与 $2 x - y - 1 = 0$ 的交点、且垂直于直线 $x + 3 y + 5 = 0$ 的直线方程（一般式， $x$ 的系数为正，系数互质）。

练习 4挑战

在直线系 $(1 + λ) x + (2 - λ) y + λ - 5 = 0$ 中，求在两坐标轴上截距相等的直线所对应的 $λ$ （用逗号隔开）。