等差数列与等比数列

观察

拖动“第 $i$ 对”： $a_{1} + a_{6}$ 、 $a_{2} + a_{5}$ 、 $a_{3} + a_{4}$ 三个读数一样吗？换一换首项和公差再试。
按“倒序叠上”：每一列都变成了多高？两份数列一共占了几列？
把 $n$ 改成奇数。最中间那一项只能和自己配对，它和 $a_{1} + a_{n}$ 有什么关系？
一般地，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。为什么？（提示： $a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$ 是 $k$ 的一次函数。）

把 $S_{n}$ 正着写一遍、倒着写一遍，上下相加，每一列都是 $a_{1} + a_{n}$ ，共 $n$ 列：

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}), S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d .

这就是倒序相加。图上，两份阶梯拼成了一个整齐的长方形。

先猜后证

等差数列中 $a_{3} + a_{8} = 20$ 。求前 $10$ 项的和 $S_{10}$ 。

先选定答案，才能看到结论。

等比数列 $a_{k} = a_{1} q^{k - 1}$ 每一项是前一项的 $q$ 倍。所以把 $S_{n}$ 整个乘以 $q$ ，得到的几乎还是原来那些项，只是整体右移了一格。

第 1 / 5 步

等差与等比是一对“对偶”：等差是 $k$ 的一次函数，“加”的性质好；等比是 $k$ 的指数函数，“乘”的性质好——取对数，等比数列就变成了等差数列。

Break it

结论： $S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

$q = 3$ ：按“错位相减”，公式的读数和逐项相加完全一致。

练习 1基础

等差数列中 $a_{4} = 10$ ， $a_{9} = 25$ 。求 $a_{20}$ 。

练习 2基础

求 $1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{7}$ 。

练习 3提高

求 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + 6 \cdot 2^{6}$ 。（等差乘等比，也能错位相减。）

练习 4挑战

等差数列的前 $5$ 项和为 $25$ ，前 $10$ 项和为 $100$ 。求前 $15$ 项和。