用柯西不等式证明不等式

关键是构造两组数：平方和是题目里的式子，对应乘积里的变量全部消掉，剩下一个常数。

📖 配合《平均值不等式与柯西不等式》§4.1阅读M18 构造法线

这一招在做什么

柯西不等式 $(\sum u_{i}^{2}) (\sum v_{i}^{2}) \geq (\sum u_{i} v_{i})^{2}$ 本身不难，难的是看出两组数在哪里。招式是：

找出题目中可以当作“平方和”的两个因子（往往是两个括号相乘，或者一个已知的和）。
把每一项拆成 $u_{i}^{2}$ 与 $v_{i}^{2}$ ，使对应的乘积 $u_{i} v_{i}$ 里变量消掉，只剩常数或已知量。
套用柯西，然后检查等号条件 $u_{i} : v_{i}$ 全相等能不能在约束下取到。

上面操作台里， $u_{i} = p_{i} / x_{i}$ ， $v_{i} = x_{i}$ ：平方和分别是 $\sum \frac{p _{i}}{x _{i}}$ 和 $\sum x_{i}$ ，而乘积 $u_{i} v_{i} = p_{i}$ 与 $x_{i}$ 无关。变量在乘积里消失，下界就是常数。

先猜后证

$a, b, c > 0$ 。 $(\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}) (a + b + c)$ 的最小值是多少？

26

36

64

81

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：证明 (1/a + 9/b + 16/c)(a + b + c) ≥ 64

第 1 / 5 步

认出两个平方和
左边是两个括号相乘，正是柯西的右边 $\sum u_{i}^{2} \cdot \sum v_{i}^{2}$ 的样子。先代 $a = b = c = 1$ 看看：左边 $26 \times 3 = 78$ 。

$(\frac{1}{a} + \frac{9}{b} + \frac{16}{c}) (a + b + c)$
拆成 u² 与 v²
乘积里变量消失
等号：每对条形形状相同
一般规律

另一种拆法：把 1 当作另一组数

不是每道题都有两个括号。只有一个和的时候，另一组数常常就是 $1, 1, \dots, 1$ 。

例：a + b + c = 1，a, b, c > 0，证明 √(3a+1) + √(3b+1) + √(3c+1) ≤ 3√2

第 1 / 3 步

要的是“乘积和”的上界
左边是三个根号相加，看成 $\sum u_{i} v_{i}$ ： $u_{i} = 1$ ， $v_{i} = 3 a_{i} + 1$ 。图上取了几个任意的 $v_{i}$ 。

$1 \cdot 3 a + 1 + 1 \cdot 3 b + 1 + 1 \cdot 3 c + 1$
平方和都是已知的
等号：所有 v 一样长

图上的 $v_{i}$ 只能取 $0.5$ 的倍数，所以第三步用 $1.5$ 代替了 $2$ ——要紧的是“全相等”这一点，松弛量为 $0$ 。

练一练

练习 1基础

$a, b > 0$ 。求 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{4}{b})$ 的最小值。

练习 2基础

正数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ 。求 $(x + 2 y + 3 z)^{2}$ 的最大值。

练习 3提高

设 $x, y, z > 0$ 。证明 $(x + y + z) (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x}) \geq \frac{9}{2}$ 。

练习 4挑战

设 $a, b, c > 0$ ， $ab c = 1$ 。证明 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq \frac{36}{a + b + c}$ ，并说明它为什么不能直接推出 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \geq 12$ 。

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展品

乘积里还剩变量，就往下推

a + b + c = 3

，证

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9

：由柯西，左边

\geq (a + b + c)^{2} \geq 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第一步没错，但右边 $(a + b + c)^{2}$ 还含变量。而它恰恰不超过 $3 (a + b + c) = 9$ （又是柯西），第二步方向反了。

这里两个因子各自放缩：

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3} = 3

，

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c} = 3

，相乘得

\geq 9

。

「构造得好，乘积是常数；剩下变量，先看方向」

展品

下界算出来了，等号却取不到

a \geq 2

，

b > 0

，

a + b = 4

，则

\frac{1}{a} + \frac{9}{b} \geq \frac{( 1 + 3 ) ^{2}}{a + b} = 4

，所以最小值是

4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　等号要求 $b = 3 a$ ，即 $a = 1$ ，可题目要求 $a \geq 2$ 。不等式本身没错，只是 $4$ 这个值根本碰不到。

在

[2, 4)

上，

f (a) = \frac{1}{a} + \frac{9}{4 - a}

单调递增，最小值在

a = 2

处取到：

\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5

。

「写“最小值”之前，先把等号条件代回约束里」