函数方程：柯西法

一句话

柯西法是一架梯子：方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 先告诉你 $f$ 在正整数上的值，再借 $f(0)$、$f(-x)$ 推到整数，借“$q$ 个 $\frac{p}{q}$ 相加”推到有理数，最后借题目给的单调性或连续性，用有理数把无理数夹住。

先猜后证

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 对一切实数成立，$f(1)=3$。$f\left(\frac{2}{3}\right)$ 等于多少？

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 指数型：$f(x+y)=f(x)f(y)$

把“加”变成了“乘”。先看符号：$f(x)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$。若某处 $f(x_0)=0$，则 $f(x)=f(x_0)f(x-x_0)=0$ 处处为零。否则 $f>0$，取对数：

$$g(x)=\ln f(x)⟹g(x+y)=g(x)+g(y).$$

又回到柯西方程！在单调或连续的条件下 $g(x)=x\ln a$，即 $f(x)=a^x$，其中 $a=f(1)>0$。

第 2 站 · 对数型：$f(xy)=f(x)+f(y)$（$x,y>0$）

换元 $x=e^u$，$y=e^v$，令 $g(u)=f(e^u)$，得 $g(u+v)=g(u)+g(v)$。同样的梯子，结论是 $f(x)=k\ln x$——也就是 ${\log }_{a}x$ 的倍数。

第 3 站 · 中点型：$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

如果去掉附加条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

条件：$f$ 单调（或连续） （保留）

结论：$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 的解只有 $f(x)=cx$

有了单调性，无理数 $\pi$ 被两边的有理数夹得死死的。把分母上限 $q$ 调大，看方框缩小。

图形加载中…

练一练

练习 1基础

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 对一切实数成立，$f(1)=2$。求 $f\left(-\frac{3}{4}\right)$。

检查

练习 2基础

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 对一切实数成立，$f(3)=5$。求 $f\left(\frac{1}{2}\right)$。

检查

练习 3提高

$f(x+y)=f(x)f(y)$ 对一切实数成立，$f(1)=4$。求 $f\left(\frac{3}{2}\right)$。

检查

练习 4挑战

连续函数 $f$ 满足 $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$，且 $f(0)=1$，$f(2)=5$。求 $f(7)$。

检查