观察
- 先点 再点 ：得到 。再用 和别的元素做减法，能得到哪些数？
- 多点几次“推一轮”。 在 中最后长成什么样？和蓝色刻度对一对。
- 有没有办法逼出 ？试试看，然后想一想为什么不行。
- 读数“最小的正元素”最后停在几？它和 、 是什么关系？
已知集合满足某种性质，问它必须含有哪些元素、必定具有什么别的性质——这是集合题里最常见的一类。做法总是两步：先按规则往外推，看清它被逼成什么样；再找一个规则改变不了的量（这里是“能被 整除”），说明推不出更多。
先猜后证
对减法封闭（），并且 ，。 中一定含有的最小正整数是几？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
，。所以 ——这就是辗转相除。另一方面， 本身就对减法封闭、含 和 ，所以比 小的正整数不一定在 里。答案是 。
为什么
对减法封闭、含 12 和 18 的集合
第 1 / 5 步- 已知
含 、，且对减法封闭。
另一种规则：一个元素生出下一个
规则也可以只作用在一个元素上：。从 出发，一直用下去会怎样？
三步一圈：。所以只要 ， 就至少含 三个元素。换一个起点、换一条规则 ，圈会有多长？
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论： 中最小的正元素整除 的每个元素 ← 还成立吗？
对减法封闭时，推到最后，最小的正元素 整除一切：
只对加法封闭。从 、 出发，推几轮：
最小的正元素是 ，可 不整除 。加法只能越加越大，造不出差，也就造不出 。减法封闭之所以强，是因为它能“往下走”，把辗转相除做完。
练一练
整数集 对减法封闭，且 ，。 中一定含有的最小正整数是几？
提示 · 方向
用减法做辗转相除。
提示 · 方法
，再看 能不能再变小。
提示 · 第一步
，：辗转相除停在 。
完整解答
；而 满足所有条件，所以更小的正整数不一定在 里。答案是 。
实数集 满足：，且 。已知 。 中必有的三个元素之积是多少？
提示 · 方向
从 出发连续用规则。
提示 · 方法
，再对结果用一次。
提示 · 第一步
，回到起点。
完整解答
三个元素是 ，积为 。（一般地 。）
实数集 满足：，且 。已知 。 至少有几个元素？
提示 · 方向
连续用规则，直到回到 。
提示 · 方法
每一步都用分数精确计算。
提示 · 第一步
。
完整解答
。四个元素 互不相同，所以至少 个； 本身满足条件。答案是 。
实数集 非空、有限，，且 。若 ， 可能是哪些数？
提示 · 方向
记 。、、 会不会相等？
提示 · 方法
。再说明 两两不同，于是 被分成若干个“三元圈”——一个分划。
提示 · 第一步
化为 ，无实根； 也化为同一个方程。另外 （否则 ）。所以每个圈恰有 个元素，不同的圈不相交。
完整解答
是 的倍数，所以只能是 。三个值都能取到：、、 生成的圈 、、 互不相交，取其中 、、 个圈的并即可。答案是 。