几何不等式中的平均值

内切圆把三边切成 x、y、z 三段，x+y+z 就是半周长；对它们用平均值不等式，正三角形就是等号。

📖 配合《平均值不等式与柯西不等式》§2.3阅读M11 数形结合线

这一招在做什么

三角形的三边 $a, b, c$ 不能随便取（要满足三角形不等式），直接用平均值不等式常常别扭。内切圆给了一个漂亮的换元：从三个顶点出发的切线长

x = p - a, y = p - b, z = p - c, a = y + z, b = z + x, c = x + y .

$x, y, z$ 是任意正数，而且 $x + y + z = p$ （半周长）。于是：

把边换成切线长： $a = y + z$ ， $b = z + x$ ， $c = x + y$ ，三角形条件自动满足。
把要比较的量写成 $x, y, z$ 的式子：海伦公式 $S^{2} = p x y z$ ， $r = \frac{S}{p}$ ， $R = \frac{ab c}{4 S}$ 。
对 $x, y, z$ 用平均值不等式；等号 $x = y = z$ 恰好是正三角形。

先猜后证

周长为 $6$ 的三角形，面积最大是多少？（保留三位小数）

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

切线长
从同一个顶点到内切圆的两条切线一样长。三种颜色各出现两次，加起来是周长，所以 $x + y + z = p$ 。

$2 (x + y + z) = a + b + c = 2 p$
海伦公式换个样子
和一定，积最大
等号：正三角形
换一个不等式：R ≥ 2r
翻译成半径

两个不等式的等号都在正三角形取到——这不是巧合：切线长换元后，对称的不等式的等号几乎总是 $x = y = z$ 。

练习 1基础

周长为 $12$ 的三角形，面积的平方 $S^{2}$ 最大是多少？

练习 2基础

直角三角形的斜边长为 $10$ 。它的面积最大是多少？

练习 3提高

证明：任意三角形中 $ab c \geq 8 (p - a) (p - b) (p - c)$ ，并指出等号成立的条件。

练习 4挑战

证明：任意三角形中 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 43 S$ 。

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展品

周长为

6

的三角形，

S = \frac{1}{2} ab sin C \leq \frac{1}{2} ab \leq \frac{1}{2} (\frac{a + b}{2})^{2} < \frac{1}{2} \cdot 3^{2} = \frac{9}{2}

，所以面积的最大值是

\frac{9}{2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每一步都对，但三个等号分别要 $C = 9 0^{\circ}$ 、 $a = b$ 、 $a + b = 6$ （即 $c = 0$ ）——不可能同时成立， $\frac{9}{2}$ 根本取不到。真正的最大值是 $3 \approx 1.73$ ，差了一倍多。

换成切线长

x, y, z

：

x + y + z = p = 3

，

S = 3 x y z \leq 3 \cdot 1^{3} = 3

，等号

x = y = z = 1

，即边长为

2

的正三角形，取得到。

「放缩链里的每个等号，必须能在同一个图形上同时成立」