对命题作恰当变化

一句话

用数学归纳法时，归纳假设就是你手里的全部资本。要证的结论越强，假设也越强。所以，直接证不动的时候，不妨主动把命题改强：

加强命题：把“余量”写进结论，比如把 $\leq 2$ 改成 $\leq 2 - \frac{1}{n}$ ；
借助辅助命题：先证一个能递推下去的性质，原命题作为推论；
推广命题：把特殊情形放进一个更一般、更好归纳的命题里。

听起来像是自找麻烦——要证的更多了，反而更容易证。

例：1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n² < 2

第 1 / 5 步

直接归纳
假设 $S_{n} \leq 2$ ，则 $S_{n + 1} = S_{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} \leq 2 + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}$ 。上界变大了，推不出 $S_{n + 1} \leq 2$ 。表里每一步都是 ✗——不是命题错了，是假设太弱。

$S_{n + 1} \leq 2 + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} 推不出 S_{n + 1} \leq 2$
留出余量
一步要多少余量
起点允许多少
恰好 a = 1

先猜后证

要用归纳法证明 $S_{n} < 2$ ，下面哪个加强后的命题能顺利完成归纳（起点和每一步都成立）？

S_{n} \leq 2 - \frac{1}{2 n}

S_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}

S_{n} \leq 2 - \frac{2}{n}

S_{n} \leq \frac{3}{2}

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 数列：借助辅助命题

例数列 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2} + 2}{a _{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ）。证明每一项都是整数。

直接归纳：假设 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 都是整数， $a_{n + 1}$ 是两个整数相除，不一定是整数。归纳假设里缺了“ $a_{n - 1}$ 整除 $a_{n}^{2} + 2$ ”这样的信息。先算几项： $1, 1, 3, 11, 41, 153, \dots$ ——好像 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ ？

辅助命题：它满足一个线性递推

第 1 / 4 步

写下两个相邻的等式
由定义 $a_{n + 1} a_{n - 1} = a_{n}^{2} + 2$ ，把 $n$ 换成 $n + 1$ ： $a_{n + 2} a_{n} = a_{n + 1}^{2} + 2$ 。

$a_{n + 2} a_{n} - a_{n + 1} a_{n - 1} = a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}$
移项分组
一个不变的比值
原命题是推论

第 2 站 · 组合：把命题推广

例 $2^{n} \times 2^{n}$ 的棋盘去掉一个角上的方格。证明剩下的部分能用 L 形三格板（ $2 \times 2$ 去掉一格）铺满。

直接归纳：把棋盘四等分成 $2^{n - 1} \times 2^{n - 1}$ 的小棋盘，缺角的那块用归纳假设——可另外三块是完整的，不缺任何格，假设管不到它们。

推广：去掉任意一格

第 1 / 4 步

把命题改得更一般
证明： $2^{n} \times 2^{n}$ 的棋盘去掉任意一格，都能用 L 形三格板铺满。角上那一格只是特例。

$P (n) : 去掉任意一格都能铺满$
起点
四等分
在中心放一块

只证“去掉角”时，假设太窄；推广到“去掉任意一格”，假设宽了，归纳才转得动。这和第一个例子是同一个道理。

练一练

练习 1基础

求 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$ 。

练习 2基础

计算 $S_{4} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}}$ （写成最简分数），并核对它确实不超过加强命题给出的界 $2 - \frac{1}{4}$ 。

练习 3提高

第 1 站的数列中，求 $a_{6}$ 。

练习 4挑战

证明：对一切正整数 $n$ ， $1 + \frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}} < \frac{5}{4}$ 。

一句话

例：1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n² < 2

第 1 站 · 数列：借助辅助命题

辅助命题：它满足一个线性递推

第 2 站 · 组合：把命题推广

推广：去掉任意一格

练一练

错误博物馆 · 本站展品

“加的那一项很小”，所以不会超过

加强过了头