分类原则

一句话

分类原则：要研究的对象全体是 $M$，把它分成两两不交、并为 $M$ 的若干类（$M$ 的一个分划），然后逐类解决。

分类本身不难，难的是选标准。好的标准有一个检验办法：只要知道对象属于哪一类，要问的事情就能判断。上面的操作台是在数“和为 $3$ 的倍数的数对”，三种标准里只有一种过得了这一关。

第 1 站 · 整除：按余数分

$1\sim 12$ 中取两数，使乘积是 $4$ 的倍数，有几种取法？ 按奇偶分看似自然，可“奇·偶”这一格里 $1\times 2$ 不行、$1\times 4$ 行。要按什么分才干净？

按除以 $4$ 的余数分，干净了。但 ✓ 的格子太多，加起来很累——反过来数不符合的更省事：乘积不是 $4$ 的倍数，只能是“两个奇数”（${\mathrm{C}}_6^2=15$ 对）或“一个奇数配一个除以 $4$ 余 $2$ 的数”（$6\times 3=18$ 对），于是答案是 $66-15-18=33$。

第 2 站 · 方程：按符号分

绝对值是“分段”定义的，含绝对值的方程天然要分类：零点把数轴切成几段，每一段上绝对值都能直接去掉。

每一段解出来的 $x$ 必须落在这一段里才算数——这是分类讨论里最常丢的一步检查。

第 3 站 · 计数：按最大元素分

从 $1\sim 10$ 中取 $3$ 个数，有几种取法？ 答案当然是 ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$，但按“最大的那个数是几”分类，可以得到一条恒等式：

同一个对象，两种数法——这是“算两次”的种子。分类标准选“最大元素”，正是因为一旦它定了，剩下的选择就彼此无关了。

练一练