圆 · 看得见的小蓝本·高中卷

观察

上面的方程有三个特点：它是 $x, y$ 的二次方程； $x^{2}$ 和 $y^{2}$ 的系数相同；没有 $x y$ 项。反过来，有这三个特点的方程（平方项系数化成 $1$ 后）都可以配方成

(x + \frac{D}{2})^{2} + (y + \frac{E}{2})^{2} = \frac{D ^{2} + E ^{2} - 4 F}{4}

左边是点 $(x, y)$ 到 $(- \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$ 的距离的平方，所以一切都看右边。

先猜后证

方程 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + k = 0$ 表示一个圆。 $k$ 的取值范围是什么？

k < 13

k < 52

k > 13

k \leq 13

先选定答案，才能看到结论。

配方就是把“一般式”翻译成“到某一点的距离”。跟着下面的例子走一遍，图会跟着变。

第 1 / 6 步

按字母分组
把含 $x$ 的放一起，含 $y$ 的放一起： $(x^{2} + 6 x) + (y^{2} - 8 y) = 0$ 。两组互不干扰，可以分开配方。

$(x^{2} + 6 x) + (y^{2} - 8 y) = 0$
配 x 的平方
配 y 的平方
常数挪到右边
一般地
代入一个点

最后一步很有用：常数项 $F$ 就是原点代入的值。 $F < 0$ 原点在圆内， $F = 0$ 圆过原点， $F > 0$ 原点在圆外。

圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上一点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线垂直于半径，半径的方向是 $(x_{0}, y_{0})$ ，所以切线是

x_{0} x + y_{0} y = r^{2} .

记法：把 $x^{2}$ 写成 $x_{0} x$ ，把 $y^{2}$ 写成 $y_{0} y$ 。这个“替换法则”在第 13 站会对椭圆、双曲线、抛物线再出现一次。

练习 1基础

求圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0$ 的半径。

练习 2基础

方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + m = 0$ 的图形只有一个点。求 $m$ 。

练习 3提高

一个圆经过 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 0)$ 、 $B (0, 6)$ 三点。写出它的圆心坐标（形如 $(a, b)$ ）。

练习 4挑战

从点 $P (7, 1)$ 向圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 引切线，切点为 $T$ 。求 $∣ P T ∣^{2}$ 。