极坐标系下曲线的方程

观察

在极坐标系里，方程 $F (ρ, θ) = 0$ 的曲线就是满足它的点的集合——只要这个点的某一个极坐标满足方程，它就在曲线上。最常见的是 $ρ = f (θ)$ ：让射线从极轴出发逆时针转，转到 $θ$ 时，在射线上取 $ρ = f (θ)$ 的那个点。

选“过极点的圆” $ρ = 4 cos θ$ ，让射线转起来。 $θ$ 只需要走到 $π$ 就画完了，为什么？ $θ$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 里时，点在射线的哪一侧？
选“四叶玫瑰线”。四片叶子是按什么顺序出现的？哪两片是虚线（ $ρ < 0$ ）画的？
选“带内圈的蜗线”。内圈是在 $θ$ 取什么范围时画的？那时 $ρ$ 的符号是什么？
选“阿基米德螺线”。每转一圈， $ρ$ 增加多少？
对心脏线依次点三个对称检验。哪一个是 ✓？虚线（对称像）和原曲线的关系与这个结论一致吗？

几种最基本的方程，从图上就能读出来：

先猜后证

$ρ = 2 cos 3 θ$ 的图形有几片“叶子”？

3

片

6

片

9

片

先选定答案，才能看到结论。

在直角坐标系里，“过原点的圆”的方程有三个参数也不好看；在极坐标系里只用一个直角三角形。

第 1 / 5 步

找一条特殊的线段
圆过极点 $O$ ，和极轴的另一个交点是 $A (4, 0)$ ， $O A$ 是直径。在圆上任取一点 $P (ρ, θ)$ 。

$∣ O A ∣ = 2 a = 4$
直径所对的圆周角
转到第二象限的方向
转半圈就画完
换回直角坐标检验

画一般的 $ρ = f (θ)$ ，先讨论再描点，书上的顺序是：对称性 → 范围（ $∣ ρ ∣$ 的最大值、 $ρ = 0$ 的方向）→ 周期 → 列表描点。对称性的检验要小心：

第 1 / 3 步

第一种代换
$(ρ, θ)$ 关于极轴的对称点可以写成 $(ρ, - θ)$ 。代进去： $ρ = 2 sin (- 2 θ) = - 2 sin 2 θ$ ，方程变了。

$(ρ, θ) \to (ρ, - θ) : ρ = - 2 sin 2 θ$
同一个对称点，另一个名字
看图确认

Break it

结论： $ρ = 2 sin 2 θ$ 是四叶玫瑰线

按规定画： $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ 时 $ρ < 0$ ，点落在第四象限。转满一圈，四片叶子都有了。

练习 1基础

把直线 $x + 3 y = 4$ 写成 $ρ cos (θ - α) = p$ 的形式（ $p > 0$ ， $0 \leq α < 2 π$ ）。若 $α = k π$ ，求 $k$ 。

练习 2基础

曲线 $ρ = 6 sin θ$ 是一个圆。它的半径是多少？

练习 3提高

$ρ = 3 cos 4 θ$ 的图形有几片叶子？

练习 4挑战

心脏线 $ρ = 2 (1 + cos θ)$ 的任意一条过极点的弦（两端都在曲线上），长度都相等。这个长度是多少？