向量的内积

观察

1. 让 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 成锐角、直角、钝角，各看一次内积的符号。
2. 固定 $\vec{b}$，把 $\vec{a}$ 拉长一倍（方向不变）。内积变成原来的几倍？影子变了吗？
3. 让 $\vec{b}=\vec{a}$。内积等于什么？
4. 右边两行算式，一行用“长度 × 影子”，一行用坐标 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$。它们总是相等吗？

两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$（$0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$），它们的内积（数量积）是

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta .$$

$|\vec{b}|\cos \theta$ 是 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影——竖直方向打光时 $\vec{b}$ 落在 $\vec{a}$ 所在直线上的“影子”，带符号。规定零向量与任何向量的内积为 $0$。几条常用的结论：

• $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$；
• $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；
• $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，所以 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$；
• 坐标形式：$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$ 时，$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

先猜后证

$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3$。$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是多少度？

°

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

为什么：坐标公式从哪里来

用内积求最小值

把 $|\vec{b}-t\vec{a}{|}^2$ 展开，得到一个关于 $t$ 的二次函数。内积在这里把“几何最短”变成了“配方”。

练一练

练习 1基础

$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-1)$。求 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。

检查

练习 2基础

$|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=4$，夹角 $60^{\circ }$。求 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$。

检查

练习 3提高

$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,1)$，且 $(\vec{a}+2\vec{b})\perp (2\vec{a}-\vec{b})$。求 $x$ 的所有可能值（用逗号隔开，小数也可以）。

检查

练习 4挑战

在 $△ABC$ 中，$AB=2$，$AC=3$，$\angle A=60^{\circ }$，$M$ 是 $BC$ 的中点。求 $A{M}^2$。

检查