椭圆 · 看得见的小蓝本·高中卷

观察

拖着 $P$ 在椭圆上走一圈。两段绳长 $∣ P F_{1} ∣$ 、 $∣ P F_{2} ∣$ 各自在变，它们的和呢？
把 $c$ 拖到 $0$ ：两颗钉子重合，画出来的是什么？再把 $c$ 慢慢加大，离心率 $e$ 和椭圆的形状怎样一起变？
把 $c$ 拖到和 $a$ 一样大，再拖到比 $a$ 大。绳子还能绕出椭圆吗？
勾上“让 $P$ 离开曲线”。把 $P$ 拖进椭圆里、拖到外面，和 $2 a$ 比一比。

把绳子两端钉在 $F_{1}, F_{2}$ ，用笔尖拉紧绳子转一圈——画出的就是椭圆：

∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 2 a (2 a > ∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c)

$F_{1}, F_{2}$ 叫焦点， $2 c$ 叫焦距。

先猜后证

椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点的距离是 $3$ 。它到右焦点的距离是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么是这个方程

取 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴、中点为原点，把“绳长不变”翻译成坐标。两次平方去掉两个根号。

由定义推出标准方程

第 1 / 6 步

建坐标系
焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ，图上 $c = 3$ 、 $a = 5$ 。 $P (x, y)$ 在椭圆上，当且仅当两段距离之和是 $2 a$ 。

$(x + c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a$
移项，第一次平方
第二次平方
记 b² = a² − c²
标准方程
离心率

如果焦点放在 $y$ 轴上，只是 $x, y$ 互换： $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 。判断方法：哪个分母大，长轴就在哪个轴上。

椭圆是压扁的圆

把圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上每一点的纵坐标都乘以 $\frac{b}{a}$ ，得到的点 $(x, y^{'})$ 满足 $x^{2} + (\frac{a}{b} y^{'})^{2} = a^{2}$ ，正是 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{'2}}{b ^{2}} = 1$ 。所以椭圆的面积是 $π a^{2} \cdot \frac{b}{a} = π ab$ 。 $e \to 0$ 时 $b \to a$ ，压缩比趋于 $1$ ，椭圆回到圆。

如果绳子不够长

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：到两定点距离之和为 $2 a$ 的点组成一个椭圆

$a > c$ ：拖 $P$ 转一圈，画出一个完整的椭圆。

练一练

练习 1基础

求椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1$ 的焦距 $2 c$ 。

练习 2基础

求椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的离心率（写成分数）。

练习 3提高

$F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上不在 $x$ 轴上的一点。求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长。

练习 4挑战

$F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 的焦点， $P$ 在椭圆上且 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{\circ}$ 。求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积。

椭圆

观察

为什么是这个方程

由定义推出标准方程

椭圆是压扁的圆

如果绳子不够长

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

焦点总放在 $x$ 轴上

把椭圆的 $c^2$ 算成 $a^2+b^2$