映射 · 看得见的小蓝本·高中卷

观察

让 $A$ 里每个元素都恰好有一支箭，“是映射吗”就变成 ✓。如果某个元素没有箭，或者（打开“允许一个元素连多条”）有两支箭，会怎样？
$B$ 里有元素一支箭也没收到，它还是映射吗？两个 $a$ 射中同一个 $b$ 呢？
把 $∣ A ∣$ 调成 $3$ 、 $∣ B ∣$ 调成 $2$ ，试着连出一个单射。能做到吗？把 $∣ A ∣$ 、 $∣ B ∣$ 反过来，试着连出一个满射呢？
看下面的计数面板： $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ 时，单射、满射、一一映射的个数有什么关系？

设 $A$ 、 $B$ 是两个集合。如果按照某个对应法则 $f$ ， $A$ 中每一个元素 $x$ 在 $B$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 和它对应，就说 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射，记作 $f : A \to B$ ， $y = f (x)$ 叫做 $x$ 的像， $x$ 叫做 $y$ 的原象。在箭头图里，这就是一句话：

A 中每个元素恰好射出 一支 箭。

再看箭落在哪里： $B$ 中每个元素至多被射中一次，叫单射；每个元素至少被射中一次，叫满射；既单又满，叫一一映射（双射）。

先猜后证

$A$ 有 $2$ 个元素， $B$ 有 $3$ 个元素。从 $A$ 到 $B$ 一共有多少个不同的映射？

6

个

8

个

9

个

5

个

先选定答案，才能看到结论。

为什么：数映射，就是数“每个元素的选择”

例：A = {a₁, a₂, a₃}，B = {b₁, b₂}

第 1 / 5 步

a₁ 先选
映射就是给 $A$ 中每个元素各挑一个像。 $a_{1}$ 可以挑 $b_{1}$ 或 $b_{2}$ ，有 $2$ 种选法。

$2$
a₂、a₃ 各自再选
单射：一个也没有
满射：去掉“漏射”的
一般的公式

由上面的推理还可以得到两条常用的结论：如果存在 $A$ 到 $B$ 的单射，那么 $∣ A ∣ \leq ∣ B ∣$ ；如果存在 $A$ 到 $B$ 的满射，那么 $∣ A ∣ \geq ∣ B ∣$ 。所以要证明两个有限集元素一样多，只要在它们之间建立一个一一映射——这就是“对应与配对”的出发点。

例如， $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ 的每个子集 $S$ 都对应一个映射 $f : A \to {0, 1}$ ： $a \in S$ 时 $f (a) = 1$ ，否则 $f (a) = 0$ 。这是子集和映射之间的一一对应，所以 $A$ 的子集有 $2^{3} = 8$ 个。

把

b_{1}

读作

0

、

b_{2}

读作

1

：这张图对应子集

{a_{1}, a_{3}}

。连出子集

{a_{2}}

对应的映射。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $f : A \to B$ 是单射，就一定是满射

$∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 3$ 。连一个单射：三支箭落在三个不同的元素上， $B$ 只有三个元素，于是每个都被射中——自动是满射。

练一练

练习 1基础

$A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {0, 1}$ 。从 $A$ 到 $B$ 的映射一共有多少个？

练习 2基础

$∣ A ∣ = 3$ ， $∣ B ∣ = 5$ 。从 $A$ 到 $B$ 的单射一共有多少个？

练习 3提高

$∣ A ∣ = 4$ ， $∣ B ∣ = 3$ 。从 $A$ 到 $B$ 的满射一共有多少个？

练习 4挑战

设 $A = {1, 2, 3}$ 。满足“对一切 $x \in A$ ， $f (f (x)) = f (x)$ ”的映射 $f : A \to A$ 一共有多少个？

映射

观察

为什么：数映射，就是数“每个元素的选择”

例：A = {a₁, a₂, a₃}，B = {b₁, b₂}

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

映射个数的底数和指数弄反

只看“有没有箭”，不看“有几支箭”