一句话
染色是一种分类：把对象分成几类，并选得巧，使得每一块砖、每一次操作、每一个结构，碰到各类对象的个数是固定的。
每块 1×4 砖=A+B+C+D(按 (r+c)mod4 染色)
于是一个关于“怎么摆”的无穷多种可能的问题，变成一次计数：数一数各种颜色有多少，就知道哪些事永远做不到。染色也常用来证明“一定有”：无论怎样分成两类，总有一类里藏着某种结构。
先猜后证
10×10 的棋盘，能用 25 块 1×4 的砖恰好铺满吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不能。格子数对得上，可颜色对不上——下面一步一步看。
例：10×10 棋盘与 1×4 的砖
第 1 / 4 步 -
先老老实实铺 每行横铺两块，用掉前 8 列；右边两列竖铺各两块。一共 24 块，右下角剩一个 2×2 的方块，再也放不下 1×4 的砖。
20+4=24 块, 剩 4 格
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四色斜条
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数颜色
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矛盾
最后一步把 24 块砖放回去：没盖住的四格恰好是 A 1、B 2、C 1、D 0——正是 25,26,25,24 各减去 24。
第 1 站 · 集合的分划（卷一）
把 {1,2,…,n} 分成两类，就是用两种颜色给每个数染色。问题“是否总有一类含 x,y,x+y”就是在找单色结构。
点数字切换颜色。n=4 时能躲开单色的 x+y=z 吗？n=5 呢？
例：把 {1, 2, 3, 4, 5} 任意分成两类，总有一类含 x, y, x + y（x = y 也可以）
第 1 / 4 步 -
不妨设 1 是红的 假设能躲开。1+1=2，所以 2 必须是蓝的。
1∈R⇒2∈B
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被逼出来的颜色
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5 无处可去
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而 4 个数可以
第 2 站 · 分类原则：格点的奇偶染色（卷一）
把格点 (x,y) 按 (xmod2, ymod2) 染成四种颜色。同色两点的中点 (2x1+x2,2y1+y2) 仍是格点。
例：平面上任给 5 个格点，必有两点的中点也是格点
第 1 / 3 步 -
四种颜色 按坐标奇偶分类：（偶,偶）、（偶,奇）、（奇,偶）、（奇,奇）。
(xmod2, ymod2)∈{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
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同色 ⇒ 中点是格点
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5 个点、4 种颜色
第 3 站 · 数列中的存在性（卷五）
用两种颜色给 1,2,…,n 染色，是否一定有一个单色的三项等差数列？
先猜后证
用红、蓝两色给 1,2,…,8 染色，能不能使其中没有单色的三项等差数列？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
能：1,2 红，3,4 蓝，5,6 红，7,8 蓝。在下面的组件里亲手验证，然后把 n 调到 9 再试。
例：1, 2, …, 9 的任一种二染色都有单色三项等差数列
第 1 / 4 步 -
看 4 和 6 假设能躲开。先看 4,6 是否同色。若同为红：2,4,6、4,5,6、4,6,8 逼得 2,5,8 都蓝——而 2,5,8 本身是等差数列。矛盾。
4,6∈R⇒2,5,8∈B
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所以 4、6 异色
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继续被逼
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矛盾
练一练
6×6 棋盘的第 r 行第 c 列（r,c 从 0 数起）涂第 (r+c)mod4 种颜色。余数为 1 的格子有多少个？（由此可知 6×6 棋盘不能用 1×4 的砖铺满。）
提示 · 方向先数 0 到 5 中模 4 余 0,1,2,3 的各有几个。
提示 · 方法行余数为 i、列余数为 j 且 i+j≡1(mod4) 的格子，把个数相乘再相加。
提示 · 第一步余数个数依次是 2,2,1,1。i+j≡1 的组合：(0,1),(1,0),(2,3),(3,2)。
完整解答2⋅2+2⋅2+1⋅1+1⋅1=10。四种颜色分别是 9,10,9,8 格，不全相等；而 9 块砖必须盖住每种颜色恰好 9 格，矛盾。
把 {1,2,…,n} 分成两类，使任何一类中都不存在 x,y,z 满足 x+y=z（x=y 也算）。n 最大是多少？
提示 · 方法n=5 一定失败；再给 n=4 构造一种分法。
提示 · 第一步试试 {1,4} 与 {2,3}。
完整解答{1,4}：1+1=2, 1+4=5, 4+4=8 都不在类中；{2,3}：2+2=4, 2+3=5, 3+3=6 也不在。所以 n 最大为 4。
用两种颜色给 1,2,…,n 染色，使其中没有单色的三项等差数列。n 最大是多少？
提示 · 方向第 3 站的预测和证明各给出了一半。
提示 · 方法n=9 不行（看 4,6 是否同色），n=8 有构造。
提示 · 第一步n=8：红 1,2,5,6，蓝 3,4,7,8。
完整解答红色的数 1,2,5,6 中任取三个都不成等差（逐一检查：1,2,5；1,2,6；1,5,6；2,5,6），蓝色的 3,4,7,8 同理。所以最大为 8。
8×8 棋盘用 21 块 1×3 的砖和 1 块 1×1 的小方块铺满。小方块可能放在多少个不同的格子上？
提示 · 方向用 (r+c)mod3 染三色，看哪种颜色多出一格。
提示 · 方法再用另一个方向的斜条 (r−c)mod3 染一次。小方块必须同时落在两种染色中“多出来”的颜色上。
提示 · 第一步0 到 7 模 3 余 0,1,2 的个数是 3,3,2，算得 (r+c)mod3 为 0,1,2 的格子各 21,22,21 个；(r−c)mod3 为 0 的有 22 个。
完整解答需要 r+c≡1 且 r−c≡0(mod3)，即 r≡c≡2(mod3)，r,c∈{2,5}（从 0 数起）：只有 4 个格子。这四个位置都确实可以（由对称性，只需给出一种铺法），所以答案是 4。