和差化积与积化和差

这一招在做什么

两个单位向量 $u = (cos α, sin α)$ 、 $v = (cos β, sin β)$ 相加，得到菱形的对角线。菱形的对角线平分顶角，所以它沿着 $\frac{α + β}{2}$ 的方向，长度是 $2 cos \frac{α - β}{2}$ 。把这支箭头的坐标“逐个相加”算一次、“长度 × 方向”算一次，就得到

cos α + cos β cos α - cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}, sin α + sin β sin α - sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2} .

从右往左读就是积化和差，例如 $2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)$ 。什么时候用哪个方向：

同名的两项相加减，想提公因式、判断正负、约分或者求零点时，化成积。
两个三角函数相乘，想降次、或者想让一长串式子前后抵消时，化成和。
新的角总是半和 $\frac{α + β}{2}$ 与半差 $\frac{α - β}{2}$ ；名字不同时先用诱导公式化成同名。

先猜后证

$cos 5 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ}$ 等于下面哪一个？

cos 1 0^{\circ}

cos 12 0^{\circ}

3 cos 1 0^{\circ}

2 cos 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

一支对角线，两种读法

第 1 / 6 步

两个单位向量
$u$ 的方向角 $α = 8 0^{\circ}$ ， $v$ 的方向角 $β = 2 0^{\circ}$ 。它们的坐标就是余弦和正弦。

$u = (cos α, sin α), v = (cos β, sin β)$
菱形的对角线
对角线有多长
投到 x 轴：读两遍
投到 y 轴
另一条对角线：差

积化和差的拿手好戏：让一串项互相抵消

求 $S = cos θ + cos 3 θ + cos 5 θ + \dots + cos (2 n - 1) θ$ 。每一项都乘 $2 sin θ$ ，再积化和差：

2 sin θ cos (2 k - 1) θ = sin 2 k θ - sin (2 k - 2) θ .

右边相邻两项首尾相接，加起来只剩头尾： $2 sin θ \cdot S = sin 2 n θ$ 。这就是“裂项”在三角里的样子——乘上的那个 $2 sin θ$ ，是专门挑来让积化和差后的角错开一格的。

什么时候不灵：系数不同

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $a cos α + b cos β$ 可以用和差化积写成一个乘积

系数都是 $1$ ：两支向量一样长，平行四边形是菱形，对角线恰好落在角平分线上。

练一练

练习 1基础

求 $sin 1 0^{\circ} + sin 5 0^{\circ} - sin 7 0^{\circ}$ 的值。

练习 2基础

求 $\frac{sin 7 5 ^{\circ} + sin 1 5 ^{\circ}}{cos 7 5 ^{\circ} + cos 1 5 ^{\circ}}$ 的值。

练习 3提高

（经典问题）求 $sin 1 0^{\circ} sin 5 0^{\circ} sin 7 0^{\circ}$ 的值。

练习 4挑战

求 $cos \frac{π}{11} + cos \frac{3 π}{11} + cos \frac{5 π}{11} + cos \frac{7 π}{11} + cos \frac{9 π}{11}$ 的值。

这一招在做什么

跟着做一遍

一支对角线，两种读法

积化和差的拿手好戏：让一串项互相抵消

什么时候不灵：系数不同

反例实验室：去掉一个条件

练一练

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cos α − cos β 漏了负号

名字不同也直接化积