复数与方程

观察

关键只有一句： $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 是复平面上两点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 之间的距离。于是一个关于模的等式，就是一个关于距离的条件，也就是一条曲线：

把等号换成不等号就得到区域： $∣ z - z_{0} ∣ < r$ 是圆的内部， $Re z > 0$ 是右半平面。

先猜后证

$∣ z + 2∣ + ∣ z - 2∣ = 6$ 的轨迹是椭圆。它上面离原点最近的点，到原点的距离是多少？（保留两位小数）

先选定答案，才能看到结论。

现在反过来，让复数当方程的解。实系数二次方程 $z^{2} + p z + q = 0$ 在 $Δ = p^{2} - 4 q < 0$ 时没有实根，但在复数集里有两个根：

z = \frac{- p \pm 4 q - p ^{2} i}{2} .

第 1 / 4 步

一个例子
$z^{2} - 2 z + 5 = 0$ ： $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ 。两个根是 $1 \pm 2 i$ ，关于实轴对称。

$z^{2} - 2 z + 5 = 0 \Rightarrow z = 1 + 2 i, 1 - 2 i$
对整个等式取共轭
所以 z̄₀ 也是根
两根都在一个圆上

Break it

结论：两个虚根互为共轭

只要 $Δ < 0$ ，两根就关于实轴对称，“两根共轭？”一直是 ✓。

练习 1基础

复数 $z$ 满足 $∣ z - 3 i ∣ = 2$ 。求 $∣ z ∣$ 的最大值。

练习 2基础

实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有一个根是 $1 - 2 i$ 。求 $b + c$ 。

练习 3提高

满足 $∣ z - 4∣ = ∣ z - 2 i ∣$ 的点 $z$ 组成一条直线。求它与实轴交点的横坐标。

练习 4挑战

复数 $z$ 满足 $∣ z + 3∣ + ∣ z - 3∣ = 10$ 。求 $∣ z ∣$ 的最小值。