点、直线间的相互关系

这一招在做什么

把点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 代进直线的法线式，得到离差 $δ$ ；它的绝对值就是距离。换成一般式 $A x + B y + C = 0$ ：

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}, tan θ = \frac{A _{1} B _{2} - A _{2} B _{1}}{A _{1} A _{2} + B _{1} B _{2}} = \frac{k _{2} - k _{1}}{1 + k _{1} k _{2}} .

这里 $θ$ 是 $l_{1}$ 按逆时针方向转到 $l_{2}$ 所转的角。

距离：代入、取绝对值、除以 $A^{2} + B^{2}$ 。
在哪一侧： $A x_{0} + B y_{0} + C$ 的符号相同的点在直线同侧。比较两个点（或一个点与原点）的符号就够了。
夹角、平行、垂直： $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ 平行（或重合）； $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 垂直；否则用上面的 $tan θ$ 。

先猜后证

点 $(2, - 1)$ 到直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 的距离是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

先看位置关系
$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot 1 = 0$ ，两条直线垂直，交于 $(2, 2)$ 。

$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$
一个等距的点
列方程：到两线距离相等
哪一条平分哪个角？看符号

“同号同侧”这个判断，就是上一站离差符号的直接应用：两个式子同时乘上各自的法化因子，符号的“同异”关系保持不变。

Break it

结论： $tan θ = \frac{k _{2} - k _{1}}{1 + k _{1} k _{2}}$ 算得出夹角

两条直线都有斜率时，斜率公式与系数公式给出同一个 $tan θ$ 。拖动看看 $θ$ 的读数。

练习 1基础

求点 $(- 1, 2)$ 到直线 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 的距离。

练习 2提高

求两条平行线 $3 x + 4 y - 7 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 1 = 0$ 之间的距离。

练习 3提高

求直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 到 $l_{2} : y = - 3 x + 4$ 的角 $θ$ （单位：度）。

练习 4挑战

求点 $P (3, 5)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标。（形如 (a,b)）