函数的最大值与最小值

这一招在做什么

说“ $f (x)$ 的最小值是 $m$ ”，其实是同时说了两件事：

f (x) \geq m 对定义域里每个 x 成立 并且 存在 x_{0} 使 f (x_{0}) = m

前一半叫估界，后一半叫取等。本章的六种方法——配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法、利用函数性质——都是“估界”的不同工具；而取等那一步，每次都得自己补上。

估：用某种工具证明 $f (x) \geq m$ （或 $f (x) \leq M$ ）。
验：找出让等号成立的 $x_{0}$ ，并确认它在定义域里。
两步都完成，才能写“最小值是 $m$ ”；只有第一步， $m$ 只是一个界。

上面的探针把这件事画了出来：直线 $y = m$ 在图象下方（不碰到）——是下界；碰到了——取得到；既在一侧、又碰到，才是最值。

先猜后证

$y = \frac{2 x ^{2} + 2 x + 5}{x ^{2} + x + 1}$ 的最小值是多少？

2

\frac{8}{3}

3

没有最小值

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍：判别式法

当函数是“二次比二次”时，最省心的工具是判别式法：把 $y$ 看成参数，问“方程 $f (x) = y$ 什么时候有实数解”。

例：求 y = (x² + x + 1)/(x² + 1) 的最大值和最小值

第 1 / 6 步

把 y 当成参数
值域里的数 $m$ ，就是能让方程 $f (x) = m$ 有解的数。去分母（分母 $x^{2} + 1 > 0$ ）：

$(1 - m) x^{2} + x + (1 - m) = 0$
没有交点的 m
解 Δ ≥ 0
最大值：Δ = 0 的地方相切
最小值
别忘了 m = 1

六件工具，各用一次

下面每个式子都配了能取等的数据，自己动手验一验等号。

工具	例子	估界	取等
配方法	$u = x^{2} + 2 y^{2} - 2 x y - 4 y + 7$	$u = (x - y)^{2} + (y - 2)^{2} + 3 \geq 3$	$x = y = 2$
判别式法	$y = \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} + 1}$	$Δ \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}$	$x = \mp 1$
不等式法	$y = x + \frac{4}{x - 1} (x > 1)$	$(x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1 \geq 2 \cdot 2 + 1 = 5$	$x = 3$
换元法	$y = x - 2 x - 1$	令 $t = 2 x - 1 \geq 0$ ， $y = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{2} \geq 0$	$t = 1$ ，即 $x = 1$
构造法	$y = x^{2} + 1 + (x - 3)^{2} + 4$	点 $(x, 0)$ 到 $(0, 1)$ 与 $(3, - 2)$ 的距离和 $\geq 32$	$x = 1$
函数性质	$y = x + \frac{9}{x} (1 \leq x \leq 2)$	在 $(0, 3]$ 上递减， $y \geq f (2) = \frac{13}{2}$	$x = 2$

同一道题往往不止一件工具能用，但代价不同：

一题多解

求 $y = \frac{2 x ^{2} + 2 x + 5}{x ^{2} + x + 1}$ 的值域。

换元 + 单调性

$t = x^{2} + x + 1 \geq \frac{3}{4}$ ， $y = 2 + \frac{3}{t}$ 。

$\frac{3}{t}$ 在 $[\frac{3}{4}, + \infty)$ 上递减，取值范围是 $(0, 4]$ 。

所以 $y \in (2, 6]$ 。

代价一眼看出“取不到 2”；要先发现分子能写成分母的倍数加常数。

判别式法

$(2 - y) x^{2} + (2 - y) x + (5 - y) = 0$ 。

$y \neq = 2$ 时： $Δ = (2 - y)^{2} - 4 (2 - y) (5 - y) = (2 - y) (3 y - 18) \geq 0$ ，得 $2 < y \leq 6$ 。

$y = 2$ 时：方程是 $3 = 0$ ，无解。所以值域是 $(2, 6]$ 。

代价不用找窍门，机械地算；但二次项系数为 0 的情形必须单独查。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $Δ \geq 0$ 就说明 $m$ 能取到

$m = 6$ ：方程 $- 4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 是二次方程， $Δ = 0$ ，有一个解 $x = - \frac{1}{2}$ 。直线和图象相切。

练一练

练习 1基础

求 $u = x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 9$ 的最小值（ $x, y$ 为实数）。

练习 2提高

求 $y = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} + 4}$ 的最小值。

练习 3提高

求 $y = \frac{x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + x + 1}$ 的最大值。

练习 4挑战

求 $y = x^{2} + 1 + x^{2} - 8 x + 20$ 的最小值。

这一招在做什么

跟着做一遍：判别式法

例：求 y = (x² + x + 1)/(x² + 1) 的最大值和最小值

六件工具，各用一次

换元 + 单调性

判别式法

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

均值不等式的等号取不到，却照样写“最小值”

判别式法忘了二次项系数可能为 0