复数与向量的应用

一句话

平面上的点 $\leftrightarrow$ 复数，于是：

两点距离 $∣ Z_{1} Z_{2} ∣ = ∣ z_{1} - z_{2} ∣$ ， $∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} - 2 Re (z_{1} \overset{z}{ˉ}_{2})$ ；
把 $A B$ 绕 $A$ 逆时针转 $θ$ ： $a + (b - a) (cos θ + i sin θ)$ ——旋转就是乘法；
$A, B, C$ 三点共线 $⟺ \frac{c - a}{b - a}$ 是实数； $A B ⊥ A C ⟺ \frac{c - a}{b - a}$ 是纯虚数；
四点共圆（或共线） $⟺ \frac{z _{3} - z _{1}}{z _{4} - z _{1}} / \frac{z _{3} - z _{2}}{z _{4} - z _{2}}$ 是实数。

难的不是公式，而是把要证的几何结论翻译成一个等式。下面四个“站”是四种翻译。

两边上的正方形：BG 与 CE 相等且垂直

第 1 / 4 步

图形
在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上向外作正方形 $A B D E$ 、 $A C F G$ 。要证 $B G = C E$ 且 $B G ⊥ C E$ 。

$BG = CE, BG ⊥ CE$
把正方形翻译成乘法
算两个向量
比值恰好是 i

第 1 站 · 旋转：正三角形

正三角形 $A B T$ 的第三个顶点，就是 $B$ 绕 $A$ 转 $\pm 6 0^{\circ}$ 。上面英雄图里的结论叫拿破仑定理：三边向外作正三角形，三个中心构成正三角形。用复数证明，只需算出三个中心 $x, y, z$ ，验证 $z - x = (y - x) (cos 6 0^{\circ} \pm i sin 6 0^{\circ})$ ——整理时反复用到 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ 。

先猜后证

以 $A = 0$ 、 $B = 2$ 为两个顶点的正三角形，第三个顶点在上半平面。它是哪个复数？

1 + i

1 + 3 i

3 + i

2 i

先选定答案，才能看到结论。

第 2 站 · 共圆：一个比值是实数

$\frac{z _{3} - z _{1}}{z _{4} - z _{1}}$ 的辐角是有向角 $∠ Z_{4} Z_{1} Z_{3}$ ， $\frac{z _{3} - z _{2}}{z _{4} - z _{2}}$ 的辐角是 $∠ Z_{4} Z_{2} Z_{3}$ 。两角相等（同侧）或相差 $18 0^{\circ}$ （异侧），正是“同弧所对的圆周角相等 / 对角互补”——此时商的辐角是 $0^{\circ}$ 或 $18 0^{\circ}$ ，商是实数。

四个点都在格点上。把

Z_{4}

拖到虚线圆上（例如

(- 1.5, 2)

或

(- 2.5, 0)

），看

λ

的虚部。

第 3 站 · 面积：叉积藏在虚部里

$△ Z_{1} Z_{2} Z_{3}$ 的面积是 $\frac{1}{2} Im (\overline{(z_{2} - z_{1})} (z_{3} - z_{1}))$ 。设 $z_{2} - z_{1} = p + q i$ ， $z_{3} - z_{1} = r + s i$ ，括号里的虚部就是 $p s - q r$ ——向量的“叉积”；它为正时三个顶点逆时针排列。

一题多解

求以 $1 + i$ 、 $4 + 2 i$ 、 $2 + 5 i$ 为顶点的三角形的面积。

复数（叉积）

$z_{2} - z_{1} = 3 + i$ ， $z_{3} - z_{1} = 1 + 4 i$ 。 $\overline{(3 + i)} (1 + 4 i) = (3 - i) (1 + 4 i) = 7 + 11 i$ ，面积 $\frac{1}{2} \times 11 = \frac{11}{2}$ 。

代价一步到位，适合任意位置的三角形。

割补

外接矩形 $[1, 4] \times [1, 5]$ ，面积 $12$ 。减去三个直角三角形： $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 1.5 + 3 + 2 = 6.5$ 。面积 $12 - 6.5 = 5.5$ 。

同一个三角形平移了

(- 3, - 3)

，面积不变。

代价不用新公式，但要画图、减三个直角三角形。

第 4 站 · 共线与定比分点

$P$ 分 $A B$ 为 $λ$ （ $A P = λ P B$ ， $λ \neq = - 1$ ）时 $p = \frac{a + λb}{1 + λ}$ 。三点 $A, B, C$ 共线 $⟺$ 存在不全为零的实数 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ ， $λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 0$ 且 $λ_{1} a + λ_{2} b + λ_{3} c = 0$ ——这和向量加减法那一站练习里“ $A D = x A B + y A C$ 中 $x + y = 1$ ”是同一件事。

练一练

练习 1基础

正方形 $A B C D$ 的顶点按逆时针排列， $A = 1 + i$ ， $B = 4 + 2 i$ 。求 $D$ 对应的复数。

练习 2基础

求以 $0$ 、 $3 + i$ 、 $1 + 4 i$ 为顶点的三角形的面积。

练习 3提高

点 $0$ 、 $4$ 、 $4 + 2 i$ 、 $y i$ （ $y \neq = 0$ ）四点共圆。求 $y$ 。

练习 4挑战

以 $A = 0$ 、 $B = 6$ 为两个顶点向下（在下半平面）作正三角形 $A B C$ ， $O$ 是它的中心。求 $∣ o ∣^{2}$ 。

一句话

两边上的正方形：BG 与 CE 相等且垂直

第 1 站 · 旋转：正三角形

第 2 站 · 共圆：一个比值是实数

第 3 站 · 面积：叉积藏在虚部里

复数（叉积）

割补

第 4 站 · 共线与定比分点

练一练

错误博物馆 · 本站展品

转错了方向

比值是实数就说共圆