几个基本问题

这一招在做什么

坐标把点变成了数对。于是“量长度、找分点、算面积”这三件最基本的几何活，都可以直接用数算出来：

∣ P_{1} P_{2} ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}, P (\frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}, \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}), S = \frac{1}{2} x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} 111

距离：以 $P_{1} P_{2}$ 为斜边画一个直角三角形，两条直角边是横、纵坐标之差，用勾股定理。
定比分点：把平面上的分点投影到 $x$ 轴、 $y$ 轴上，比值 $λ$ 不变（平行线分线段成比例），各自用数轴上的分点公式。 $λ = 1$ 就是中点。
面积：三阶行列式除以 $2$ 。它带符号：顶点逆时针为正，顺时针为负；为 $0$ 恰好说明三点共线。

先猜后证

$A (- 1, 2)$ 、 $B (3, - 2)$ 、 $C (1, 0)$ 。 $△ A B C$ 的面积是多少？

0

2

4

8

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

摆出行列式
第一列放横坐标，第二列放纵坐标，第三列全是 $1$ 。三行的顺序就是顶点的顺序 $P_{1} \to P_{2} \to P_{3}$ 。

$S = \frac{1}{2} - 3 30 - 2 - 1 4 111$
按“交叉相乘”展开
除以 2，看符号
换个顺序，符号翻转

分点也一样，只是要盯住 $λ$ 的符号。

第 1 / 4 步

λ = 1：中点
$λ = 1$ 时 $P_{1} P = P P_{2}$ ， $P$ 是中点 $(\frac{- 4 + 0}{2}, \frac{- 2 + 0}{2}) = (- 2, - 1)$ 。

$P = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
λ = 3：靠近 P₂
λ = −3：跑到 P₂ 外面
λ = −1：没有这个点

Break it

结论：行列式的一半就是三角形的有向面积

三点不共线时，拖动任何一个顶点，读数都是实实在在的三角形面积；顶点顺序一换，符号跟着换。

练习 1基础

求两点 $(- 2, 5)$ 与 $(4, - 3)$ 之间的距离。

练习 2基础

$A (2, - 1)$ 、 $B (- 4, 5)$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上且 $A P = 2 P B$ 。求 $P$ 的坐标（形如 (a,b)）。

练习 3提高

求以 $A (1, - 2)$ 、 $B (5, 1)$ 、 $C (- 1, 3)$ 为顶点的三角形的面积。

练习 4挑战

$A (0, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 、 $C (2, 4)$ 。点 $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $△ A B P$ 的面积是 $△ A B C$ 的 $\frac{1}{3}$ 。求 $P$ 的坐标（形如 (a/b,c/d)）。