观察
- 每调整一次，“和”变了吗？“积”呢？
- 调整法每次都把一个数恰好拉到平均数 。四个数一共要调几次？
- 换成“磨光”（两个数都换成它们的平均数）再试几次：积还在增大吗？能在有限步内全部等于 吗？
- 最后全等于 时，积是多少？它和最开始的积谁大？
一切都压在一行恒等式上。设 ，把 换成 、 换成 （和不变），积的改变量是
两个因子一个是“小的数离 多远”，一个是“大的数离 多远”。它们都不是零时，积严格变大。
先猜后证
四个数 （平均数 ），每次取最小和最大的一对做调整。最多要调几次，四个数才全部等于 ？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
每调一次，至少多出一个等于 的数，而最后一次会同时让两个数变成 （剩下的那个只能也是 ，因为和不变）。所以 个数至多调 次。
对 ：，正好 次。
为什么：调整法证明
调整法：和不变，积不减
第 1 / 6 步- 要证什么
正数 的平均数为 。要证 ，即 。现在积是 ，而 。
另一条路：向前—向后归纳（柯西）
书里给了十几种证明，其中最有名的一种是柯西的“跳着走”的归纳：先把 推到 ，再一步一步往回退。
2 → 4 → 8 → …，再从 n 退到 n − 1
第 1 / 5 步- 起点 n = 2
，上一站已证。
“补上一个平均数”这一招以后还会反复出现：添一个不改变平均数的项，是给不等式“凑项”的标准动作。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：调整后积不减少 ← 还成立吗？
每次选“一个在 下面、一个在 上面”，积只会变大。
这台机器允许你对任意一对做同样的操作。选 和 （两个都在 上面）试试。
，：，积变小了。恒等式 里，两个因子一正一负，乘积为负。 条件“一个不超过 、一个不小于 ”正是让这个乘积非负的条件。
练一练
对三个数 做一次调整（最小数拉到平均数，最大数补差额）。调整后三个数的积是多少？
提示 · 方向
先算平均数。
提示 · 方法
。把 换成 ， 换成 。
提示 · 第一步
调整后是 。
完整解答
积是 ，一步就到了顶，原来的积是 。
一组正数的平均数是 ，其中有两个数 和 。对这两个数做一次调整，这两个数的乘积增加了多少？
提示 · 方向
不用把新数都算出来也行。
提示 · 方法
增加量是 。
提示 · 第一步
。
完整解答
增加 。验证：调整后是 和 ，。
已知四个正数的平均值不等式成立。不用其他方法，推出三个正数 的平均值不等式 。
提示 · 方向
从 退到 ：缺一个数，补什么？
提示 · 方法
补上 ，它不改变平均数。
提示 · 第一步
的平均数是 ，所以 。
完整解答
四次方：，两边除以 得 ，即 。等号当且仅当 ，即 。
设正数 的积为 。用归纳法证明 ，并由此推出 。
提示 · 方向
积为 且不全为 时，一定有一个大于 、一个小于 。
提示 · 方法
设 ，则 ，即 。把 看成一个数，用 个数的结论。
提示 · 第一步
这 个数积为 ，由归纳假设和 。
完整解答
。对一般正数 ，令 ，积为 ，得 ，即 。等号当且仅当所有 ，即 全相等。