奇偶性

一句话

整数分为奇数和偶数两类。最常用的几条性质：

$a + b$ 与 $a - b$ 奇偶相同；
奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；
若干个整数的积是奇数，当且仅当每一个都是奇数。

奇偶分析的威力在于：它只保留了“模 $2$ ”这一个信息，往往恰好是问题里不变的那一部分。

先猜后证

黑板上写着 $1, 2, \dots, 10$ 。每次擦掉任意两个数 $a, b$ ，写上 $∣ a - b ∣$ 。经过 $9$ 次后只剩一个数。这个数可能是 $0$ 吗？

可能不可能

先选定答案，才能看到结论。

例：1～10 擦数写差，最后一个数必为奇数

第 1 / 4 步

找一个量
每次操作只动两个数，看所有数的和 $S$ 。开始时 $S = 1 + 2 + \dots + 10 = 55$ 。

$S_{0} = 55$
和变了，奇偶没变
奇偶不变量
结论

第 1 站 · 分类原则（卷一）

按奇偶把整数分成两类，问题就变成两类之间怎么排。

例：能否把 1, 2, …, n 排成一圈，使相邻两数之和都是奇数？

第 1 / 4 步

和为奇数意味着什么
两数之和是奇数 $⟺$ 一奇一偶。所以圈上奇数、偶数必须交替出现。

$a + b 奇 ⟺ a \neq \equiv b (mod 2)$
交替的圈
n 为奇数：不能
n 为偶数：能

第 2 站 · 周期数列（卷五）

数列本身越来越大，但它的奇偶只有两种状态，常常是周期的。

例：a₁ = a₂ = 1，aₙ₊₂ = aₙ₊₁·aₙ + 1。a₁₀₀ 是奇数还是偶数？

第 1 / 4 步

只算奇偶
奇×奇+1=偶，奇×偶+1=奇，偶×奇+1=奇。

$1, 1, 0, 1, 1, 0, \dots (mod 2)$
验证几项
周期为 3
结论

第 3 站 · 斐波那契数列（卷五）

一题多解

斐波那契数列 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ 。证明： $F_{n}$ 是偶数当且仅当 $3 ∣ n$ 。

奇偶的周期

模 $2$ ： $1, 1, 0, 1, 1, 0, \dots$ 。由于每一项由前两项决定，而 $(F_{4}, F_{5}) \equiv (1, 1) \equiv (F_{1}, F_{2})$ ，影子以 $3$ 为周期。

所以 $F_{n} \equiv 0 (mod 2) ⟺ n \equiv 0 (mod 3)$ 。

代价最直接：把数列压成模 2 的“影子”。

跨度为 3 的归纳

$F_{n + 3} = F_{n + 2} + F_{n + 1} = 2 F_{n + 1} + F_{n}$ ，所以 $F_{n + 3} \equiv F_{n} (mod 2)$ 。

验证 $F_{1}, F_{2}$ 奇、 $F_{3} = 2$ 偶，再用跨度为 $3$ 的归纳法，三条链分别覆盖 $n \equiv 1, 2, 0 (mod 3)$ 。

代价不提周期，直接用归纳；要先把递推式“跨三步”。

练一练

练习 1基础

黑板上写着 $1, 2, \dots, 2025$ 。每次擦掉两个数，写上它们的差的绝对值。最后剩下的一个数除以 $2$ 的余数是多少？

练习 2基础

斐波那契数列的前 $100$ 项 $F_{1}, F_{2}, \dots, F_{100}$ 中有多少个偶数？

练习 3提高

$P (x)$ 是整系数多项式， $P (0)$ 与 $P (1)$ 都是奇数。证明： $P (x)$ 没有整数根。

练习 4挑战

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 每个都是 $1$ 或 $- 1$ ，且 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n - 1} a_{n} + a_{n} a_{1} = 0$ 。满足条件的最小正整数 $n$ 是多少？

一句话

例：1～10 擦数写差，最后一个数必为奇数

第 1 站 · 分类原则（卷一）

例：能否把 1, 2, …, n 排成一圈，使相邻两数之和都是奇数？

第 2 站 · 周期数列（卷五）

例：a₁ = a₂ = 1，aₙ₊₂ = aₙ₊₁·aₙ + 1。a₁₀₀ 是奇数还是偶数？

第 3 站 · 斐波那契数列（卷五）

奇偶的周期

跨度为 3 的归纳

练一练

错误博物馆 · 本站展品

和是偶数，就以为两个都是偶数

奇偶相符，就说能做到

这条线路经过的站