正弦定理与余弦定理

观察

这四条合起来就是正弦定理：

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

其中 $R$ 是外接圆半径。它比“大边对大角”精确得多：边之比就是对角正弦之比， $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ 。

先猜后证

$△ A B C$ 的外接圆半径 $R = 4$ ， $∠ A = 15 0^{\circ}$ 。边 $B C$ 有多长？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

要证什么
三角形内接于半径为 $R$ 的圆。三个比值现在都显示为同一个数，我们要找一个对任何三角形都成立的理由。

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = ? 2 R$
过 B 作直径
直径所对的圆周角是直角
把 ∠D 换成 ∠A
A 是钝角时
三条边一视同仁

正弦定理管“边和对角”。已知两边和夹角时，第三边要用余弦定理：从 $A$ 向直线 $B C$ 作高，把斜三角形切出一个直角三角形。

第 1 / 5 步

作高 AH
在 $△ A C H$ 中， $A H$ 是 $∠ C$ 的对边， $C H$ 是邻边。

$A H = b sin C, C H = b cos C$
直角三角形 AHB
展开，用 sin² + cos² = 1
钝角也成立
直角：修正项消失

反过来用：三边已知时， $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ 。只看分子的符号就能判断 $C$ 是锐角、直角还是钝角。

Break it

结论： $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$C$ 锁定为直角，改 $a$ 、 $b$ 都没用——修正项一直是 $0$ 。

练习 1基础

$△ A B C$ 中 $a = 9$ ， $A = 15 0^{\circ}$ 。求外接圆半径 $R$ 。

练习 2基础

三角形三边长为 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 。求最大角的余弦值。它是锐角、直角还是钝角三角形？

练习 3提高

$△ A B C$ 中 $sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$ 。求 $cos B$ 。

练习 4挑战

$△ A B C$ 中 $b = 23$ ， $c = 2$ ， $C = 3 0^{\circ}$ 。求边 $a$ 的所有可能值（用逗号隔开）。