直线的方程

观察

让 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 的横坐标相同（直线竖起来）。哪几种形式变成了 ✗？倾斜角是多少？
让直线经过原点，再让它平行于 $x$ 轴。截距式在这两种情况下各说了什么？
盯住“斜率”和倾斜角 $α$ ： $α$ 是锐角时 $k$ 是正还是负？钝角时呢？
不管你怎么拖，最下面的“一般式”有没有出过 ✗？

倾斜角：直线向上的方向与 $x$ 轴正方向所成的最小正角， $0^{\circ} \leq α < 18 0^{\circ}$ （水平的直线规定 $α = 0^{\circ}$ ）。 $α \neq = 9 0^{\circ}$ 时，它的正切叫斜率：

k = tan α = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x_{1} \neq = x_{2}) .

于是有五种写法：点斜式 $y - y_{1} = k (x - x_{1})$ 、斜截式 $y = k x + b$ 、两点式、截距式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ，以及一般式 $A x + B y + C = 0$ 。前四种各有适用范围，一般式没有：

平面上任何一条直线的方程都是 $x$ 、 $y$ 的一次方程；反过来，任何一次方程 $A x + B y + C = 0$ （ $A$ 、 $B$ 不全为 $0$ ）的图形都是一条直线。

先猜后证

直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 与两条坐标轴围成的三角形面积是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么：同一条直线，五种写法

例：过 (−1, −3) 和 (2, 3) 的直线

第 1 / 5 步

先算斜率
从 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ ：向右 $3$ ，向上 $6$ ， $k = \frac{6}{3} = 2$ 。倾斜角 $α$ 满足 $tan α = 2$ ，是锐角。

$k = \frac{3 - ( - 3 )}{2 - ( - 1 )} = 2$
点斜式：一个点 + 斜率
斜截式：解出 y
截距式：两个截距
一般式：全部移到一边

为什么一般式“一条不漏”？证明只要分两种情况：

证明：Ax + By + C = 0（A、B 不全为 0）总表示一条直线

第 1 / 3 步

情形一：B ≠ 0
两边除以 $B$ ，解出 $y$ 。这是斜率为 $- \frac{A}{B}$ 、截距为 $- \frac{C}{B}$ 的斜截式，表示一条不垂直于 $x$ 轴的直线。

$y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$
情形二：B = 0
反过来

$A x + B y + C = 0$ 里有三个系数，但同乘一个非零数表示的是同一条直线，真正自由的只有两个比值。所以确定一条直线需要两个独立条件：两个点，或一点一斜率，或两个截距……

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：直线可以写成截距式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

条件满足时，两个截距都存在且不为 $0$ ，截距式总写得出来。

练一练

练习 1基础

求过 $(1, - 2)$ 、 $(4, 1)$ 两点的直线的倾斜角（单位：度）。

练习 2基础

求过点 $(3, 1)$ 、斜率为 $- 2$ 的直线的一般式方程（ $x$ 的系数取正，各系数互质）。

练习 3提高

直线过点 $(- 2, 3)$ ，在两轴上的截距之和为 $2$ 。求它在 $x$ 轴上的截距 $a$ 的所有可能值（用逗号隔开）。

练习 4挑战

直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $A$ 、 $B$ 。求 $△ A O B$ 面积的最小值。

观察

为什么：同一条直线，五种写法

例：过 (−1, −3) 和 (2, 3) 的直线

证明：Ax + By + C = 0（A、B 不全为 0）总表示一条直线

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

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“截距相等”只设了截距式

竖直的直线斜率是 0