先猜后证

一句话

关于正整数 $n$ 的问题，答案常常不会写在题目里。这时：

算：把 $n = 1, 2, 3, \dots$ 的情形老老实实算出来；
猜：观察数据，用类比、试探猜出一般的公式；
证：用数学归纳法证明猜想。

前两步是发现，第三步是证明。猜出来却证不出来，它就只是一个猜想。

例：a₁ = 1/2，aₙ₊₁ = 1/(2 − aₙ)，求通项

第 1 / 6 步

算第一项
$a_{1} = \frac{1}{2}$ 。只有一项，什么也看不出来。
再算两项
猜
证：起点
证：归纳一步
结论

先猜后证

圆周上 $n$ 个点两两连弦（任意三条弦不共点）， $n = 1, 2, 3, 4, 5$ 时圆分别被分成 $1, 2, 4, 8, 16$ 块。 $n = 6$ 时是多少块？

块

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 递推数列：猜通项

递推式给出了“下一项怎样由这一项得到”，正是归纳一步需要的东西。所以对递推数列，“先猜后证”几乎总是行得通：猜对了，证明就是把猜想代进递推式算一算。

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

。提示：每一项加

1

看看。猜出来之后，归纳一步是

2 (2^{k} - 1) + 1 = 2^{k + 1} - 1

。

第 2 站 · 求和：先猜次数，再定系数

$S_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1)$ 。每次加上的一项是 $n$ 的二次式，所以猜 $S_{n}$ 是三次多项式——就像 $1 + 2 + \dots + n$ （每次加一次式）是二次式一样。

数据是

2, 8, 20, 40, \dots

。试着把每一项除以

n

，再看看。

一题多解

求 $S_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1)$ 。

猜 + 归纳

$\frac{S _{n}}{n} = 2, 4, \frac{20}{3}, 10, \dots$ ，乘以 $3$ 得 $6, 12, 20, 30$ ，正是 $(n + 1) (n + 2)$ 。猜 $S_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$ 。

归纳一步： $\frac{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} + (k + 1) (k + 2) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )}{3}$ 。

代价要先有一个猜想；有了猜想，证明只是一行代数。

裂项相消

$k (k + 1) = \frac{1}{3} [k (k + 1) (k + 2) - (k - 1) k (k + 1)]$ 。从 $k = 1$ 加到 $n$ ，中间全部抵消，只剩 $\frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$ 。

代价不用猜，但要想到这个“裂项”。

第 3 站 · 乘积：猜分式

$P_{n} = (1 - \frac{1}{2 ^{2}}) (1 - \frac{1}{3 ^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}})$ ， $n \geq 2$ 。

\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{5}{8}, \dots

——把

\frac{2}{3}

写成

\frac{4}{6}

试试。

猜出 $P_{n} = \frac{n + 1}{2 n}$ 之后，归纳一步是 $\frac{k + 1}{2 k} \cdot \frac{( k + 1 ) ^{2} - 1}{( k + 1 ) ^{2}} = \frac{k + 1}{2 k} \cdot \frac{k ( k + 2 )}{( k + 1 ) ^{2}} = \frac{k + 2}{2 ( k + 1 )}$ 。

如果只猜不证

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：对一切 $n$ 都成立

$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ 有起点、有归纳一步，检验多少项都不会出错。

练一练

练习 1基础

$a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ 。求 $a_{10}$ 。

练习 2基础

计算 $1 + 3 + 5 + \dots + 39$ 。

练习 3提高

$a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a _{n}}$ 。求 $a_{20}$ 。

练习 4挑战

求 $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n!$ ，并证明你的结论。

一句话

例：a₁ = 1/2，aₙ₊₁ = 1/(2 − aₙ)，求通项

第 1 站 · 递推数列：猜通项

第 2 站 · 求和：先猜次数，再定系数

猜 + 归纳

裂项相消

第 3 站 · 乘积：猜分式

如果只猜不证

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

验了五项，就当证明了

证明时偷偷用了要证的式子