三角不等式

一句话

三角不等式有两类：解不等式，靠图象和单位圆把解集“看”出来；证不等式，常常是把三角函数值变成能比较的几何量（面积、斜率、高度）。三角形里的不等式还有一招很管用——逐步调整：保持角的和不变，把角一步步调匀。

为什么调匀会让 $sin A + sin B + sin C$ 变大？因为正弦在 $[0, π]$ 上是一道上凸的拱：拱上任意几点的重心，都在拱的下方。

调整法：sin A + sin B + sin C ≤ 3√3/2

第 1 / 4 步

三个角放到拱上
$A = 3 0^{\circ}$ ， $B = 5 0^{\circ}$ ， $C = 10 0^{\circ}$ 。三个点 $(x_{i}, sin x_{i})$ 都在拱上，它们围成的三角形整个落在拱的下方。

$sin 3 0^{\circ} + sin 5 0^{\circ} + sin 10 0^{\circ} \approx 2.251$
重心在拱下方
调整一步
再调一步，全部相等

第 1 站 · 解不等式：在一个周期里看

先猜后证

在 $[0, 2 π)$ 内， $cos x > \frac{1}{2}$ 的解集由几段区间组成？

1 段2 段3 段

先选定答案，才能看到结论。

粗线是满足不等式的部分。切换

sin

、

cos

、

tan

，拖动

a

。

第 2 站 · 比大小：变成面积

当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时有一条基本不等式 $sin x < x < tan x$ 。它的证明就是把三个数都画成面积。

sin x < x < tan x

第 1 / 4 步

小三角形
$P$ 在单位圆上， $O A = 1$ ， $P$ 到 $O A$ 的距离是 $sin x$ 。

$S_{△ O A P} = \frac{1}{2} sin x$
扇形
大三角形
一个套一个

第 3 站 · 三角形里的最值：两种走法

一题多解

在 $△ A B C$ 中，证明 $sin A + sin B + sin C \leq \frac{3 3}{2}$ 。

逐步调整

先固定 $C$ 。 $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} \leq 2 cos \frac{C}{2}$ ，等号在 $A = B$ 时成立。

于是只需证 $2 cos \frac{C}{2} + sin C \leq \frac{3 3}{2}$ 。这是一个单变量问题；或者像上面的试验台那样，每次把一对角调成“平均值 + 剩余”，两步之内三个角全部变成 $6 0^{\circ}$ ，和只增不减。

代价每一步都要算一次和差化积，但完全初等。

切线放缩

拱在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线是 $y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 。拱是上凸的，所以整段拱都在切线下方：

$sin x \leq \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3}), 0 \leq x \leq π .$

令 $x = A, B, C$ 三式相加，右边的括号加起来是 $A + B + C - π = 0$ ，得 $sin A + sin B + sin C \leq \frac{3 3}{2}$ 。

代价一行搞定，但要先猜到等号在 60° 取到。

练一练

练习 1基础

在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 内，满足 $cos x < \frac{1}{2}$ 的 $x$ 组成区间 $(α^{\circ}, β^{\circ})$ 。求 $β - α$ 。

练习 2基础

在 $sin x < x$ 中取 $x = \frac{π}{6}$ ，能得到圆周率 $π$ 的一个下界。这个下界是多少？

练习 3提高

求 $△ A B C$ 中 $cos A + cos B + cos C$ 的最大值。

练习 4挑战

锐角 $△ A B C$ 中， $tan A + tan B + tan C$ 的最小值记为 $m$ 。求 $m^{2}$ 。

一句话

调整法：sin A + sin B + sin C ≤ 3√3/2

第 1 站 · 解不等式：在一个周期里看

第 2 站 · 比大小：变成面积

sin x < x < tan x

第 3 站 · 三角形里的最值：两种走法

逐步调整

切线放缩

练一练

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把 sin x > ½ 当成一次不等式来解