用平均值不等式证明不等式

这一招在做什么

要证的不等式两边常常是同次的多项式，例如

a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a (a, b, c \geq 0) .

平均值不等式说：几个数的积的几何平均不超过它们的算术平均。把每一项看成指数向量，积的指数就是指数的平均。于是：

对小的一边的每一项（目标项），在大的一边找几项（来源项），使目标项的指数是来源项指数的加权平均——在指数三角形里，目标落在来源围成的区域里。
求出权重 $w_{i}$ ，写出加权平均值不等式 $目标 \leq \sum w_{i} \cdot 来源_{i}$ ；权重通分后就是普通的 $n$ 元平均值不等式（来源项重复若干次）。
让 $a \to b \to c \to a$ 轮换，三个不等式相加；最后检查等号条件：所有来源项相等。

先猜后证

要写出 $a^{2} b \leq x a^{3} + y b^{3}$ （ $x + y = 1$ ）， $x$ 应该取多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 7 步

目标项在哪里
$a^{2} b$ 的指数是 $(2, 1, 0)$ ：靠近 $a^{3}$ 那个角，在底边上。大的一边只有 $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ 三个角。

$a^{2} b \leq ?$
只用 a³ 不够
加上 b³
轮换相加
等号
四次：目标在三角形内部
轮换相加，完成

指数三角形不只是一张辅助图：它直接告诉你哪些不等式可以这样证。目标落在来源的区域外面，加权平均值不等式就无能为力（这样的“不等式”多半本来就不成立）。

Break it

结论：可以用平均值不等式从来源项压住目标项

$ab c$ 在 $a^{2} b$ 、 $b^{2} c$ 、 $c^{2} a$ 围成的小三角形正中间： $ab c \leq \frac{1}{3} (a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a)$ ，这也就是三元平均值不等式。

练习 1基础

写出 $a b^{2} \leq x a^{3} + y b^{3}$ （ $x + y = 1$ ， $a, b \geq 0$ ）。 $x$ 等于多少？

练习 2基础

证明：对任意实数 $a, b, c$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ ，并说明等号何时成立。

练习 3提高

设 $a, b, c \geq 0$ 。证明 $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a$ 。

练习 4挑战

设 $x, y, z > 0$ 。证明 $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq \frac{x + y + z}{3 x y z}$ 。