一句话
解析几何的本意是用代数来算几何，而坐标系是人为放上去的。同一个图形，原点放在哪、坐标轴沿哪条线，算出来的结论一样，算的过程却可以差很多。经验是：
- 让图形的一个关键点做原点——它的两个坐标都是 0；
- 让一条关键直线做坐标轴——直线上的点都少一个坐标；
- 图形有对称性，就让对称轴做坐标轴、对称中心做原点——坐标成对出现，只差一个符号。
同一个定理，四种坐标系：AB² + AC² = 2(AM² + BM²)
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随手放：6 个字母 三角形在平面上随便一放，三个顶点要 6 个字母。等式两边都要展开成十几项再核对——能算，但很累。
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)
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原点放在 B，x 轴沿 BC
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原点放在中点 M：用上对称
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坐标变了，长度没变
先猜后证
要求三角形的垂心 H（三条高的交点），四种放法里哪一种最省事？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
垂心是高的交点。把高 AD 本身做 y 轴，一条高就是 x=0，不用再求；另一条高与它一交就出来了：H(0,−abc)。
中点为原点在“中线”问题里最好，在“高”的问题里就不是了。选哪个坐标系，要看题目里谁最重要。
拖三角形的顶点：只要 H 在图上，“公式算出的纵坐标”就和它对得上。第 1 站 · 三角形的中线
上面证明的 AB2+AC2=2(AM2+BM2) 叫中线长定理（阿波罗尼奥斯定理）。它让你只凭三边就算出中线：
AM2=2AB2+AC2−4BC2.
关键点是中点 M，所以原点放在 M，对称地设 B(−c,0)、C(c,0)。
第 2 站 · 三条高交于一点
“三条高交于一点”要证的是：两条高的交点也在第三条高上。
用“垂足坐标系”证明三条高共点
第 1 / 4 步 -
摆坐标系 以 BC 为 x 轴、高 AD 为 y 轴，设 A(0,a)、B(b,0)、C(c,0)，其中 a=0。高 AD 就是 y 轴：x=0。
A(0,a), B(b,0), C(c,0)
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过 B 的高
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过 C 的高
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结论
第 3 站 · 正方形里的垂直
一题多解
正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，F 在 BC 上且 CF=41BC。求证：AE⊥EF。
纯几何
设边长为 4，则 DE=EC=2，CF=1。在 △ADE 与 △ECF 中，∠D=∠C=90∘，且 DEAD=24=CFEC，所以两三角形相似，∠DAE=∠CEF。
于是 ∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90∘，所以 ∠AEF=90∘。
代价要先看出一对相似三角形，看不出就无从下手。
坐标法
正方形有两条互相垂直的边，就让它们做坐标轴：A(0,0)、B(4,0)、C(4,4)、D(0,4)。于是 E(2,4)、F(4,3)。
EA=(−2,−4)，EF=(2,−1)，两者的数量积 (−2)⋅2+(−4)⋅(−1)=0，所以 AE⊥EF。（用斜率也一样：kAE=2，kEF=−21，乘积为 −1。）
代价不需要灵感，只需要把正方形放好；代价是几行计算。
这里的放法用的是第 2 条经验：图形里有两条互相垂直的直线（正方形的两条邻边），就让它们做坐标轴。
练一练
正方形 ABCD 的边长为 6。以它的中心为原点、两条坐标轴分别平行于两组对边，且 A 在第三象限。C 的坐标是多少？（形如 (a,b)）
提示 · 方法四个顶点关于两条坐标轴对称，坐标只差符号，绝对值都是边长的一半。
提示 · 第一步A(−3,−3)。C 是 A 的对角顶点，关于原点对称。
完整解答C(3,3)。对称放置之后，四个顶点是 (±3,±3)，一个字母都不用设。
以 BC 为 x 轴、BC 边上的高为 y 轴，A(0,4)、B(−2,0)、C(6,0)。求垂心 H 的坐标。（形如 (a,b)）
提示 · 方向一条高已经是 y 轴了，垂心一定在哪条直线上？
提示 · 方法用公式 H(0,−abc)，或者直接求过 B 且垂直于 AC 的直线与 y 轴的交点。
提示 · 第一步a=4，b=−2，c=6，−abc=−4(−2)⋅6。
完整解答H(0,3)。检验：
BH=(2,3)，
AC=(6,−4)，数量积
12−12=0，确实垂直。
△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，M 是 BC 的中点。求 AM2。
提示 · 方法AB2+AC2=2(AM2+BM2)，其中 BM=2BC。
取 A(0,a)、B(b,0)、C(c,0)（a=0）。求 △ABC 的外心 O 与重心 G 的坐标，并证明 O、G、H 三点共线且 OG:GH=1:2（这条直线叫欧拉线）。
提示 · 方向外心在 BC 的垂直平分线上，在这个坐标系里那是一条很简单的直线。
提示 · 方法外心横坐标是
2b+c；再由
∣OA∣=∣OB∣ 定出纵坐标。重心是三顶点坐标的平均。最后验证
G=32O+H（即
G 分
OH 所成的比为
21）。
提示 · 第一步设 O(2b+c,y)，∣OA∣2=∣OB∣2 给出 (2b+c)2+(y−a)2=(2c−b)2+y2，化简得 −2ay+a2=−bc。
完整解答O(2b+c,2aa2+bc)，G(3b+c,3a)，H(0,−abc)。计算 32O+H：横坐标 3(b+c)+0=3b+c，纵坐标 31(aa2+bc−abc)=3a，正是 G。所以 G 在线段 OH 上且 OG:GH=1:2。