解轨迹问题的几种方法

一句话

求轨迹，先看动点是被什么驱动的。 驱动方式决定方法：

动点怎么动	方法	做法
条件本身就是 $P$ 的几何关系	直接法	设 $P (x, y)$ ，把条件逐字翻译成坐标
跟着已知曲线上的另一点 $P_{0}$ 动	代入法（相关点法）	用 $(x, y)$ 表示 $P_{0}$ ，代入 $P_{0}$ 满足的方程
由一个角、斜率、时间……驱动	参数法	写出 $x = f (t), y = g (t)$ ，再消去 $t$
是两条动直线（动曲线）的交点	交轨法	写出两条线的方程，直接消去它们共同的参数

最后都要回到上一站：检查纯粹性和完备性。

代入法：P 在圆 x² + y² = 16 上，Q 是 P 与 A(6, 0) 的中点

第 1 / 5 步

看谁在驱动
$Q$ 自己没有条件，它完全跟着圆上的点 $P$ 走。 $P$ 满足已知方程 $x^{2} + y^{2} = 16$ 。

$P 在 x^{2} + y^{2} = 16 上$
设所求的点
反过来表示 P
代入已知方程
检验

先猜后证

$A (- 3, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 。满足 $∣ P A ∣ = 2∣ P B ∣$ 的点 $P$ 的轨迹是什么？

线段

A B

的垂直平分线一个圆一个椭圆一条双曲线的一支

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 参数法：被倾斜角驱动的中点

过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F (1, 0)$ 作弦，求弦中点 $M$ 的轨迹。

倾斜角

α = 0

时为什么没有点？（那条直线是抛物线的对称轴。）

一题多解

过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F (1, 0)$ 的弦 $A B$ ，求其中点 $M$ 的轨迹方程。

参数法：用斜率 k

弦 $y = k (x - 1)$ 代入： $k^{2} x^{2} - (2 k^{2} + 4) x + k^{2} = 0$ ， $x_{1} + x_{2} = 2 + \frac{4}{k ^{2}}$ 。中点 $x = 1 + \frac{2}{k ^{2}}$ ， $y = k (x - 1) = \frac{2}{k}$ 。消去 $k$ ： $y^{2} = \frac{4}{k ^{2}} = 2 (x - 1)$ 。竖直的弦 $x = 1$ 的中点是 $F (1, 0)$ ，也满足方程。轨迹为 $y^{2} = 2 (x - 1)$ 。

代价思路直，要消一次参数，还要单独补上竖直的弦。

点差法：设而不求

$y_{1}^{2} = 4 x_{1}$ ， $y_{2}^{2} = 4 x_{2}$ ，相减： $(y_{1} + y_{2}) (y_{1} - y_{2}) = 4 (x_{1} - x_{2})$ 。设 $M (x, y)$ ， $y_{1} + y_{2} = 2 y$ ，弦的斜率 $\frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} = \frac{y}{x - 1}$ （ $M$ 、 $F$ 都在弦上）。代入： $2 y \cdot \frac{y}{x - 1} = 4$ ，即 $y^{2} = 2 (x - 1)$ 。

代价更短，但要记得“斜率存在”和“中点与 F 连线就是弦”这两个前提。

第 2 站 · 交轨法：两条动直线的交点

过 $A (- 2, 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线，过 $B (2, 0)$ 作斜率为 $\frac{1}{k}$ 的直线，求交点 $P$ 的轨迹。

两条直线是 $y = k (x + 2)$ 和 $y = \frac{1}{k} (x - 2)$ 。不必解出交点：两式相乘， $k$ 和 $\frac{1}{k}$ 一乘就没了：

y^{2} = (x + 2) (x - 2) ⟹ x^{2} - y^{2} = 4 .

把

θ

从

- 8 9^{\circ}

拖到

8 9^{\circ}

。

θ = \pm 4 5^{\circ}

时交点去了哪里？

θ \to 0

时交点靠近哪个点，却永远到不了？

交轨法的精髓是“消参不求交点”：选择相乘、相除、相加还是相减，要看哪种组合能让参数自己消失。

练一练

练习 1基础

$A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 满足 $∣ P A ∣^{2} + ∣ P B ∣^{2} = 26$ 。 $P$ 的轨迹是一个圆，求它的半径。

练习 2基础

点 $P$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上运动， $Q$ 是线段 $O P$ 的中点（ $O$ 为原点）。 $Q$ 的轨迹方程写成 $y = F (x)$ ，求 $F (x)$ 。

练习 3提高

过原点的动直线 $y = k x$ 与圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 交于原点和另一点 $M$ 。线段 $O M$ 中点 $N$ 的轨迹在一个圆上，求这个圆的半径。

练习 4挑战

$A (- 3, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 。过 $A$ 、 $B$ 分别作直线，它们的斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ，交点为 $P$ 。 $P$ 的轨迹是椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 去掉两个点。求 $a^{2} + b^{2}$ 。

一句话

代入法：P 在圆 x² + y² = 16 上，Q 是 P 与 A(6, 0) 的中点

第 1 站 · 参数法：被倾斜角驱动的中点

参数法：用斜率 k

点差法：设而不求

第 2 站 · 交轨法：两条动直线的交点

练一练

错误博物馆 · 本站展品

代入法代反了方向

交轨法消去参数后，忘了被排除的点