直线方程的法线式

观察

从原点 $O$ 向直线 $l$ 作垂线，垂足为 $N$ 。设 $x$ 轴正方向到 $O N$ 的角为 $θ$ ， $∣ O N ∣ = p$ 。直线上任一点 $M (x, y)$ 在 $O N$ 方向上的投影都等于 $p$ ，于是

x cos θ + y sin θ - p = 0 (p \geq 0)

叫做直线的法线式。它有两个特征： $x$ 、 $y$ 的系数平方和等于 $1$ ；常数项是负数或零。（直线过原点时 $p = 0$ ，规定 $0^{\circ} \leq θ < 18 0^{\circ}$ 。）

先猜后证

下面哪一个方程是法线式？

\frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y + 2 = 0

- \frac{3}{5} x - \frac{4}{5} y - 2 = 0

3 x + 4 y - 10 = 0

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y - 1 = 0

先选定答案，才能看到结论。

$A x + B y + C = 0$ 与法线式表示同一条直线，所以对应系数成比例： $cos θ = μ A$ ， $sin θ = μ B$ ， $- p = μ C$ 。由 $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ 得

μ = \pm \frac{1}{A ^{2} + B ^{2}},

而 $- p = μ C \leq 0$ 决定了符号： $μ$ 与 $C$ 异号。 $μ$ 叫法化因子。

第 1 / 5 步

算 √(A²+B²)
$A = 3$ ， $B = - 4$ ， $3^{2} + (- 4)^{2} = 5$ 。

$A^{2} + B^{2} = 5$
定符号
乘上去
读出法线方向
彩蛋：把点代进去

把点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 代入法线式的左边，得到

δ = x_{0} cos θ + y_{0} sin θ - p .

几何意义很清楚： $x_{0} cos θ + y_{0} sin θ$ 是 $O Q$ 在法线方向上的投影，减去 $p$ ，就是 $Q$ 比直线“多出去”多少。 $∣ δ ∣$ 是距离，符号告诉你在哪一侧：与原点异侧为正，同侧为负，在直线上为零。

拨

A

、

B

、

C

换一条直线，再拖

Q

。注意

δ

的值都是精确的：分母里的根号已经有理化。

下一站会把它用到底：点到直线的距离、角平分线、两直线的夹角。

练习 1基础

直线的法线式中 $θ = 15 0^{\circ}$ ， $p = 2$ 。求它在 $y$ 轴上的截距。

练习 2基础

求原点到直线 $5 x - 12 y + 26 = 0$ 的距离。

练习 3提高

把 $x + 3 y + 4 = 0$ 化成法线式，求 $θ$ （单位：度， $0 \leq θ < 360$ ）。

练习 4挑战

直线 $x cos θ + y sin θ - 3 = 0$ 经过点 $(6, 0)$ 。求 $θ$ 的所有可能值（单位：度， $0 \leq θ < 360$ ，用逗号隔开）。