平均值不等式 · 看得见的小蓝本·高中卷

观察

只拖分点 $C$ ：直径 $a + b$ 不变，所以半径（红色，算术平均 $A$ ）不动。蓝色的半弦（几何平均 $G$ ）什么时候最长？
把 $a$ 拖到 $0.5$ 、 $b$ 拖到 $10$ 。数轴上哪个标记紧贴着小的那个数？哪个被大的数拉过去？
无论怎么拖，四个标记的次序变过吗？调成 $a = b$ 时，它们发生了什么？
看下面的 $n$ 个数版本：把其中一个数调得很大或很小，四个标记的间隔怎样变？

对正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，四种平均数分别是

H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{a _{1}} + \dots + \frac{1}{a _{n}}}, G_{n} = n a_{1} a_{2} \dots a_{n},

A_{n} = \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n}, Q_{n} = \frac{a _{1}^{2} + \dots + a _{n}^{2}}{n} .

观察到的事实就是平均值不等式（这一册的主角是中间那一个 $A_{n} \geq G_{n}$ ）：

H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n} \leq Q_{n}, 当且仅当 a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} 时等号成立。

四个数的版本。把它们调成一样大，四个标记就重合。

先猜后证

$a = 1$ ， $b = 9$ 。下面哪一个最接近它们的调和平均 $H$ ？

1.8

3

5

6.4

先选定答案，才能看到结论。

为什么

两个数的情形，代数上只要一行，几何上就是一张半圆图。

两个正数的四个平均数

第 1 / 7 步

代数：一个平方
对 $a, b \geq 0$ ，平方总是非负的。展开就得到 $A \geq G$ ；等号当且仅当 $a = b$ ，即 $a = b$ 。

$(a - b)^{2} \geq 0 ⟺ \frac{a + b}{2} \geq ab$
半径就是算术平均
半弦就是几何平均
半弦不超过半径
再投影一次：调和平均
斜着连：平方平均
等号：四线合一

$n$ 个数的 $A_{n} \geq G_{n}$ 不能再靠一张平面图，下一站会给出好几种证明。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $\frac{a + b}{2} \geq ab$

两个非负数：怎么拖滑块，“不等式链”都是 ✓。

练一练

练习 1基础

$a = 4$ ， $b = 9$ 。求 $\frac{a + b}{2} - ab$ 的值。

练习 2基础

求 $3$ 和 $6$ 的调和平均。

练习 3提高

设 $a, b, c > 0$ 。证明 $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 ab c$ ，并指出等号成立的条件。

练习 4挑战

四个正数的算术平均是 $5$ ，几何平均也是 $5$ 。求这四个数的平方和。

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展品

忘了“非负”这个前提

对一切

x \neq = 0

，

x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平均值不等式只对非负数成立。 $x = - 1$ 时左边是 $- 2$ ，比 $2$ 小得多。两个负数的算术平均是负的，几何平均 $ab$ 却是正的。

分情况：

x > 0

时

x + \frac{1}{x} \geq 2

；

x < 0

时对

- x > 0

用不等式，得

x + \frac{1}{x} \leq - 2

。

「用平均值不等式之前，先确认每一项都非负」

展品

只写“≥”，不说等号何时成立

a, b > 0

且

a + b = 4

，所以

ab \leq 2

，

ab

的最大值是

4

。（没有说何时取到）

错在哪里？先想一想，再打开

病因　这里碰巧对： $a = b = 2$ 时取到。但“ $\leq$ ”只说明 $4$ 是一个上界，它是不是最大值，要看等号能不能成立。下一站和第 2 章会看到很多“界取不到”的例子。

每用一次平均值不等式，都写一句“当且仅当……时等号成立”，并检查那个条件和题目的其他条件相容。

「不等式写一半，等号条件是另一半」