周期、单调与对称

观察

对 $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$ ： $T = π$ 时副本和原图重合。继续减小 $T$ ，最小正周期是多少？
换成 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，打开“对称轴”，拖 $a_{1}$ 找到一条对称轴。再打开“第二条对称轴”找另一条。看最后出现的那张读数卡。
同一个函数，打开“对称中心”，拖 $c$ 找一个对称中心。它和你找到的对称轴相距多少？是周期的几分之几？
换成 $y = sin x + sin 2 x$ ：能找到对称中心，能找到对称轴吗？
打开“单调区间”：实线段是增，虚线段是减。增区间和减区间的长度一定相等吗？（试试 $y = sin x + sin 2 x$ 。）

对正弦型函数 $y = A sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ），这些问题都只要把 $u = ω x + φ$ 当成一个整体，回到 $sin u$ 的性质上去：

对称轴： u = \frac{π}{2} + k π, 对称中心： u = k π, 增区间（ A > 0 ）： - \frac{π}{2} + 2 k π ⩽ u ⩽ \frac{π}{2} + 2 k π .

先猜后证

函数 $f (x)$ 定义在 $R$ 上，它的图象关于直线 $x = 1$ 和 $x = 3$ 都对称。下面哪个数一定是 $f (x)$ 的周期？

2

4

6

不一定是周期函数

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

一条对称轴
$y = sin x + cos x$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称：点 $x$ 和它的镜像 $2 a - x$ 函数值相同。

$f (x) = f (2 a - x)$
第二条对称轴
连照两次镜子
一轴一中心
差一个负号，再做一次

这个结论不依赖于 $f$ 是不是三角函数：任何定义在 $R$ 上的函数，只要有两条不同的对称轴，就是周期函数。三角函数恰好是最典型的例子。

Break it

结论： $f (x)$ 是周期函数

$y = sin x + cos x$ 有两条对称轴 $x = \frac{π}{4}$ 和 $x = \frac{5 π}{4}$ ，于是 $2 π$ 是周期。

练习 1基础

函数 $y = ∣ sin 2 x ∣$ 的最小正周期是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 2基础

函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的所有对称轴中，离 $y$ 轴最近的一条是 $x = k π$ ，求 $k$ 。

练习 3提高

函数 $y = sin (\frac{π}{4} - 2 x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间是 $[a, b]$ 。 $a = k π$ ，求 $k$ 。

练习 4挑战

定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，图象关于直线 $x = 1$ 对称，也关于点 $(3, 0)$ 对称，且 $f (1) = 2$ 。求 $f (2029)$ 。