一句话
极端原理：在一组对象里，取某个量最大（或最小）的那一个，把题目的条件用在它身上。它已经“到头了”——别的对象还能比它更大，它却不能——所以从它身上最容易推出强结论或者矛盾。
用之前要确认三件事：有限个实数中必有最大和最小；正整数集的任何非空子集必有最小数；无限个实数不一定有最大最小。
先猜后证
人循环赛（每两人赛一场，没有平局）。胜场最多的人，是否一定对每个人都“要么直接赢了他，要么赢了某个赢过他的人”？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
一定是。在上面的图里随便翻转结果，绿色（直接胜）和虚线（隔一人胜）总能覆盖所有人。下面的证明只用了一件事：他的胜场最多。
例：循环赛中胜场最多的选手，对每个人都“直接胜或隔一人胜”
第 1 / 4 步- 取极端
设 是胜场最多的选手，他胜了 人，组成集合 。
第 1 站 · 最小数原理（卷五）
在正整数解里取“最小”的一组，再从它造出更小的一组——无穷递降。
例：方程 x² + y² = 3z² 没有正整数解
第 1 / 4 步- 取最小解
反设有正整数解。正整数集里一定有最小数，所以可以取 最小的一组 。
第 2 站 · 求极值（卷六）
“若干个式子中最小的那个，最大能是多少？”——设出这个最小值 ，它不超过每一个式子，然后把这些不等式乘起来或加起来消去变量。
例：x, y > 0，m = min{x, y/(x² + y²)}，求 m 的最大值
第 1 / 4 步- m 不超过每一个
是两者中较小的那个，所以它同时不超过两者。
第 3 站 · 解析几何中的极值（卷七）
有限个点，三角形只有有限个，面积最大的一个一定存在。它是整个图形的“骨架”。
例：平面上有限个点（不全共线），任三点构成的三角形面积都不超过 1。证明：所有点都在某个面积不超过 4 的三角形内
第 1 / 4 步- 取面积最大的三角形
在所有以这些点为顶点的三角形中，取面积最大的 ，面积 。
练一练
名选手进行单循环比赛（每两人赛一场，无平局）。胜场最多的选手至少赢了几场？
提示 · 方向
一共有多少场比赛，也就是一共有多少个“胜”？
提示 · 方法
场， 个胜场分给 人。最多的不小于平均数。
提示 · 第一步
平均每人 胜，所以最多的人至少 胜。
完整解答
又能做到人人恰好 胜（把 人排成一圈，每人赢他后面的两个人），所以答案是 。
，。 的最大值是 ，求 。
提示 · 方向
不超过三个式子中的每一个。
提示 · 方法
用 和 去估计第三个式子。
提示 · 第一步
，，所以 。
完整解答
，。取 ，：三个式子都等于 。所以 。
平面上有有限个点（至少两个）。证明：不可能每一个点都是另外某两个点连线的中点。
提示 · 方向
取一个“最靠边”的点。
提示 · 方法
取横坐标最小的点；若有几个，再取其中纵坐标最小的。
提示 · 第一步
设这个点是 ，假设它是 、 的中点，看 、 的横坐标。
完整解答
，而 ，所以 。同理纵坐标： 推出 ，于是 ，与“另外两个点”矛盾。
证明：方程 没有正整数解。
提示 · 方向
和第 1 站一样：取最小的正整数解。
提示 · 方法
看奇偶：从方程推出 是偶数，代回去再看 ，再看 。
提示 · 第一步
是偶数，所以 ，代入得 。
完整解答
于是 偶，：；于是 偶，：。 是更小的正整数解，与 最小矛盾。