消去参数与选择参数

这一招在做什么

参数方程 ${x = f (t) y = g (t)$ 化成普通方程 $F (x, y) = 0$ ，关键是消去 $t$ ：

消去 t ⟹ F (x, y) = 0 + x, y 的取值范围

选一个消参的办法：能解出 $t$ 就代入；有 $sin t$ 、 $cos t$ 就平方相加或用倍角公式；两式结构对称就加、减、乘，凑出不含 $t$ 的式子。
消去 $t$ ，整理出 $F (x, y) = 0$ 。
回头看：由参数的范围定出 $x$ （或 $y$ ）的范围，把它和方程写在一起。少了这一步，普通方程常常比原曲线“多一块”。

反过来，画参数方程的图像也有两条路：直接列 $t$ 的值表描点；或者先消参认出曲线，再按范围截取。

先猜后证

$x = cos^{2} t, y = sin^{2} t$ 表示的图形是什么？

直线

x + y = 1

一条线段一条射线一个圆

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

先描一遍
$t$ 从 $0$ 走到 $2 π$ 。点在一段弧上来回走： $x$ 从 $0$ 增到 $1$ ，退到 $- 1$ ，再回到 $0$ 。

${x = sin t y = cos 2 t$
选工具：倍角公式
普通方程的图像
回头看范围

同一条曲线有很多套参数方程。圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 用角 $θ$ 作参数是 $x = 2 cos θ, y = 2 sin θ$ ；令 $t = tan \frac{θ}{2}$ ，就变成有理的参数方程

x = \frac{2 ( 1 - t ^{2} )}{1 + t ^{2}}, y = \frac{4 t}{1 + t ^{2}} .

有理参数便于代数运算（比如找圆上的有理点），代价是丢了一个点：

把

t

从

- 12

拉到

12

。

t

越大，点越靠近

(- 2, 0)

，可永远到不了它。

选参数的原则：参数要能决定动点，又要有几何意义，让条件容易写出来。常用的有：角（圆、椭圆的离心角）、斜率（过定点的直线）、直线上的有向距离 $t$ （下一站的主角）、时间（运动问题）。

Break it

结论：消参前后是同一条曲线

$x = t + \frac{1}{t}, y = t - \frac{1}{t}$ ：平方相减得 $x^{2} - y^{2} = 4$ 。 $t > 0$ 时走遍右支， $t < 0$ 时走遍左支，双曲线一点不少。

练习 1基础

把 $x = t - 1, y = t^{2} + 2 t$ 化成 $y = F (x)$ 的形式，写出 $F (x)$ 。

练习 2基础

$x = sin θ + cos θ, y = sin θ cos θ$ 消参后得 $y = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ 。设 $x$ 的取值范围是 $[- m, m]$ ，求 $m^{2}$ 。

练习 3提高

曲线 $x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, y = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} (t \in R)$ 是单位圆去掉一个点。被去掉的点的横坐标是多少？

练习 4挑战

曲线 $x = t + \frac{1}{t}, y = t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} (t \neq = 0)$ 上， $y$ 的最小值是多少？