带参数的平均值不等式 · 看得见的小蓝本·高中卷

这一招在做什么

两元平均值不等式可以带一个正参数 $λ$ ：

2 ab \leq λ a^{2} + \frac{1}{λ} b^{2} (λ > 0), 等号当且仅当 b = λa .

对任何 $λ$ 它都成立（它就是 $(λ a - \frac{b}{λ})^{2} \geq 0$ ）。参数不改变真假，只改变等号落在哪里。于是：

把式子拆成几份，每份用带参数的平均值不等式放缩——此时得到的界对每个参数值都成立。
把各步加起来，写出最后的界（它依赖参数）。
解方程选参数，使各步的等号条件相容（常见的形式是：几个系数相等）。这时界才是最值。

先猜后证

要让 $2 ab \leq λ a^{2} + \frac{1}{λ} b^{2}$ 在 $b = 3 a$ 时取等号， $λ$ 应取多少？

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：求 (xy + 2yz)/(x² + y² + z²) 的最大值

第 1 / 6 步

为什么要拆 y²
$x y$ 要用 $x^{2}$ 和 $y^{2}$ 去压， $y z$ 要用 $y^{2}$ 和 $z^{2}$ 去压： $y^{2}$ 被两处共用。按比例 $t : (1 - t)$ 分给它们。

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x^{2} + t y^{2}) + ((1 - t) y^{2} + z^{2})$
每一组都用平均值不等式
放大到同一个系数
转过头了
让三个系数相等
等号取得到

把题中的 $2$ 换成一般的 $q$ ，同样的计算给出 $t = \frac{1}{1 + q ^{2}}$ ，最大值 $\frac{1 + q ^{2}}{2}$ 。在上面的操作台里拖 $q$ 验证。

练一练

练习 1基础

要使 $2 ab \leq λ a^{2} + \frac{1}{λ} b^{2}$ 在 $b = 2 a$ 时取等号， $λ$ 等于多少？

练习 2提高

设 $x, y, z$ 不全为 $0$ 。 $\frac{x y + y z}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$ 的最大值记为 $M$ ，求 $M^{2}$ 。

练习 3提高

正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ 。求 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值。

练习 4挑战

设 $x, y, z, w$ 不全为 $0$ 。求 $\frac{x y + y z + z w}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + w ^{2}}$ 的最大值。

错误博物馆 · 本站展品

离站之前，看看别人在这里踩过的坑。去博物馆看全部展品 →

展品

不配参数，直接两两放缩

x y \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}

，

2 y z \leq y^{2} + z^{2}

，相加得

x y + 2 y z \leq \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} + z^{2} \leq \frac{3}{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})

，所以最大值是

\frac{3}{2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每一步都对，但等号取不到：前两步要 $x = y = z$ ，最后一步把 $\frac{1}{2} x^{2}$ 和 $z^{2}$ 放大到 $\frac{3}{2} x^{2}$ 、 $\frac{3}{2} z^{2}$ ，要取等就得 $x = z = 0$ ，于是 $y$ 也是 $0$ 。真正的最大值是 $\frac{5}{2} \approx 1.118$ 。

把

y^{2}

按待定比例

t : (1 - t)

拆开，选

t

使三个平方项的系数相等：

t = \frac{1}{5}

。

「系数不平衡的地方，就是松弛藏身的地方」