面积法

一句话

三角形面积有很多种写法： $\frac{1}{2} ah$ ， $\frac{1}{2} ab sin C$ ， $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ ……同一个面积用两种方法表示，就得到一个等式。这就是面积法。

最好用的一个工具是共边定理：若直线 $P Q$ 与直线 $A B$ 交于 $M$ ，则

\frac{P M}{QM} = \frac{S _{△ P A B}}{S _{△ Q A B}} .

两个三角形共用底边 $A B$ ，面积之比就是高之比；而高之比就是 $P M : QM$ （相似的两个直角三角形）。于是线段比 = 面积比，不必再去找相似三角形。

先猜后证

在 $△ A B C$ 中， $D$ 在 $B C$ 上且 $B D : D C = 2 : 1$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，直线 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ 。 $A F : F C$ 等于多少？

1 : 1

2 : 3

1 : 2

3 : 4

先选定答案，才能看到结论。

例：BD : DC = 2 : 1，E 为 AD 中点，BE 交 AC 于 F，求 AF : FC

第 1 / 4 步

找公共边
$F$ 在直线 $A C$ 上，也在直线 $B E$ 上。以 $B E$ 为公共边， $△ A B E$ 与 $△ C B E$ 的面积比就是 $A F : F C$ 。

$\frac{A F}{F C} = \frac{S _{△ A B E}}{S _{△ C B E}}$
算 S△ABE
算 S△CBE
结论

第 1 站 · 三角形中的面积（卷三）

角平分线把三角形分成两块，用 $\frac{1}{2} ab sin C$ 写出面积，角平分线定理和角平分线长都是一行的事。

例：△ABC 中，AD 平分 ∠A（D 在 BC 上），AB = c，AC = b

第 1 / 4 步

共高：底之比
$△ A B D$ 与 $△ A C D$ 有公共的高（ $A$ 到 $B C$ ），面积比就是 $B D : D C$ 。

$\frac{B D}{D C} = \frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}}$
共角：夹边之积的比
面积相加
角平分线长

第 2 站 · 向量的内积（卷四）

由 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ ，两个向量张成的三角形面积可以只用内积表示；写成坐标，就是那个熟悉的行列式。

例：向量 a = (3, 1)，b = (1, 2) 张成的三角形面积

第 1 / 4 步

面积公式
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ ，把 $sin θ$ 换成内积。

$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$
代入
坐标形式
两种算法一致

第 3 站 · 坐标法（卷七）

点到直线的距离，就是三角形的高：先用坐标算面积，再除以底。

一题多解

已知 $A (1, 2)$ ， $B (4, 6)$ ， $C (5, 1)$ ，求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离。

点到直线距离公式

直线 $A B$ 的斜率是 $\frac{4}{3}$ ，方程 $4 x - 3 y + 2 = 0$ 。

$d = \frac{∣4 \times 5 - 3 \times 1 + 2∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{19}{5}$ 。

代价先求直线方程，再套公式。

$A B = (3, 4)$ ， $A C = (4, - 1)$ ， $S = \frac{1}{2} ∣3 \times (- 1) - 4 \times 4∣ = \frac{19}{2}$ 。

$∣ A B ∣ = 5$ ，所以 $d = \frac{2 S}{∣ A B ∣} = \frac{19}{5}$ 。

代价不用直线方程，只要两个向量。

练一练

练习 1基础

直角三角形两条直角边长为 $6$ 和 $8$ ，求斜边上的高。

练习 2基础

$△ A B C$ 的中线 $A M$ 与 $B N$ 交于 $G$ 。用面积法求 $A G : GM$ 。

练习 3提高

$△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = 12 0^{\circ}$ ， $A D$ 平分 $∠ A$ 交 $B C$ 于 $D$ 。求 $A D$ 。

练习 4提高

求以 $O (0, 0)$ ， $P (4, 1)$ ， $Q (1, 3)$ 为顶点的三角形的面积。

面积法

一句话

例：BD : DC = 2 : 1，E 为 AD 中点，BE 交 AC 于 F，求 AF : FC

第 1 站 · 三角形中的面积（卷三）

例：△ABC 中，AD 平分 ∠A（D 在 BC 上），AB = c，AC = b

第 2 站 · 向量的内积（卷四）

例：向量 a = (3, 1)，b = (1, 2) 张成的三角形面积

第 3 站 · 坐标法（卷七）

点到直线距离公式

面积法

练一练

错误博物馆 · 本站展品

底不相同，却直接拿面积比当高之比

坐标求面积忘了取绝对值

这条线路经过的站