平均值不等式的变形 · 看得见的小蓝本·高中卷

平均值不等式的变形

换成倒数、平方、加权，平均值不等式变出一整族：幂平均随指数单调上升，Σa·Σ(1/a) ≥ n² 是最常用的一种。

📖 配合《平均值不等式与柯西不等式》§2.4阅读

这一招在做什么

把平均值不等式用到“变了形”的数上，就得到一族新不等式：

min a_{i} \leq H \leq G \leq A \leq Q \leq max a_{i} .

它们都是幂平均 $M_{p} = (\frac{a _{1}^{p} + \dots + a _{n}^{p}}{n})^{1/ p}$ 的特例（ $p = - 1, 0, 1, 2$ ），而 $M_{p}$ 随 $p$ 增大而增大。常用的变形：

换成倒数：对 $\frac{1}{a _{i}}$ 用 $A \geq G$ ，得 $H \leq G$ ；合起来 $A \geq H$ ，即 $(\sum a_{i}) (\sum \frac{1}{a _{i}}) \geq n^{2}$ 。
换成平方： $Q \geq A$ ，即 $n \sum a_{i}^{2} \geq (\sum a_{i})^{2}$ ——和一定时，平方和有最小值。
加权： $w_{1} a_{1} + \dots + w_{n} a_{n} \geq a_{1}^{w_{1}} \dots a_{n}^{w_{n}}$ （ $w_{i} > 0$ ， $\sum w_{i} = 1$ ）；“乘以 $1$ ”的技巧就是在用它。

先猜后证

正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 3$ 。 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

p = −1：调和平均
$M_{- 1} = \frac{3}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{3}{5/3} = 1.8$ 。它是“倒数的算术平均”的倒数。

$H = \frac{n}{\sum \frac{1}{a _{i}}}$
倒数换元：H ≤ G
p = 1：算术平均
p = 2：平方平均
两头：最小值和最大值
等号

练习 1基础

正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 6$ 。求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值。

练习 2基础

实数 $x, y$ 满足 $x + y = 4$ 。求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。

练习 3提高

正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ 。求 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值。

练习 4挑战

设 $a, b, c > 0$ 。证明 $(a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}) \geq \frac{9}{2}$ 。

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展品

\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq 2 \frac{4}{ab} = \frac{4}{ab} \geq \frac{4}{\frac{a + b}{2}} = 8

，所以最小值是

8

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第一个等号要 $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$ ，即 $b = 4 a$ ；第二个等号要 $a = b$ 。两者只在 $a = b = 0$ 时同时成立，不可能。 $8$ 取不到，它只是一个下界。

乘以

1 = a + b

：

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) = 5 + \frac{b}{a} + \frac{4 a}{b} \geq 5 + 4 = 9

，等号

b = 2 a

，即

a = \frac{1}{3}

，

b = \frac{2}{3}

，取得到。最小值是

9

。

「用一次就到位，别让两个等号打架」