简单的三角方程

这一招在做什么

最简三角方程只有三种，它们的解在单位圆上一目了然——一圈里至多两个点，再加上周期：

sin x = a cos x = a tan x = a \Rightarrow x = k π + (- 1)^{k} arcsin a \Rightarrow x = 2 k π \pm arccos a \Rightarrow x = k π + arctan a

这里 $k \in Z$ ；前两个要求 $∣ a ∣ \leq 1$ ，否则无解。

先猜后证

方程 $sin 3 x = \frac{1}{2}$ 在 $[0, 2 π)$ 内有几个解？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

换元
把 $sin x$ 看成一个整体 $t$ ，方程就是一元二次方程。注意 $t$ 只能在 $[- 1, 1]$ 里取值。

$2 t^{2} - t - 1 = 0 ⟹ (t - 1) (2 t + 1) = 0$
第一个最简方程
第二个最简方程
合起来
如果某个 t 超出 [−1, 1]

余弦、正切也一样，只是“切圆的线”换了方向： $cos x = a$ 用竖线 $x = a$ ， $tan x = a$ 用过原点、斜率为 $a$ 的直线（它交圆于相差 $π$ 的两点，所以正切的周期是 $π$ ）。

换成 cos、tan，拖动

a

。正切的直线永远交圆于两个对径点。

Break it

结论： $sin ω x = a$ 在 $[0, 2 π)$ 内至多有 $2$ 个解

$ω = 1$ 时， $x$ 在 $[0, 2 π)$ 里恰好把单位圆走一圈，解不会超过两个。

练习 1基础

在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 内解方程 $cos x = - \frac{2}{2}$ （用度数作答，逗号隔开）。

练习 2基础

在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 内解方程 $2 sin^{2} x + 3 sin x - 2 = 0$ 。

练习 3提高

在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 内解方程 $sin 2 x = cos x$ 。

练习 4挑战

在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 内解方程 $sin x + 3 cos x = 1$ 。