函数方程：代换法 · 看得见的小蓝本·高中卷

这一招在做什么

函数方程里的 $x$ 是“任意的”，所以可以把它换成任何（在定义域里的）式子，方程依然成立。代换法就是利用这一点，造出新方程：

方程形如 $f (φ (x)) = g (x)$ ：令 $t = φ (x)$ ，反解出 $x$ ，直接得到 $f (t)$ 。
方程里同时出现 $f (x)$ 和 $f (φ (x))$ ，而 $φ$ 迭代几次又回到 $x$ （例如 $\frac{1}{x}$ 、 $- x$ 两次回来， $\frac{1}{1 - x}$ 三次回来）：把 $x$ 换成 $φ (x)$ 一遍遍重写，直到 $f (x)$ 再次出现——未知数和方程一样多，消元。
把解出的 $f$ 代回原方程检验。

这里用到上一章的迭代： $φ$ 的周期，决定了要换几次。

先猜后证

$f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ （ $x \neq = 0$ ）。 $f (2)$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍：周期为 3 的代换

例：f(x) + f(1/(1−x)) = x（x ≠ 0, 1）

第 1 / 5 步

一个方程，两个未知
方程 ① 里有 $f (x)$ 和 $f (\frac{1}{1 - x})$ 。只有一个方程，解不出来。

$f (x) + f (\frac{1}{1 - x}) = x$
换一次
再换一次：回来了
消元
代回检验

最简单的情形：一次换元

方程里只出现 $f (某个式子)$ 时，一次换元就够：令 $t = 2 x + 1$ ，则 $x = \frac{t - 1}{2}$ ，代入右边。

按“令

t =

括号里的式子”。验算：

(2 x + 1)^{2} - (2 x + 1) = 4 x^{2} + 2 x

。

另一个对称的例子： $2 f (x) - f (- x) = x^{2} + 3 x$ 。 $- x$ 换两次回来，消元得 $f (x) = x^{2} + x$ 。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：反复代换，方程组一定能封闭

$φ (x) = \frac{1}{x}$ ：换一次就回来，两个方程恰好够用。

练一练

练习 1基础

$f (x + 1) = x^{2} + 3 x$ 。求 $f (x)$ 。

练习 2基础

$2 f (x) - f (- x) = 3 x + 1$ 。求 $f (x)$ 。

练习 3提高

$f (x) - 2 f (\frac{1}{x}) = x$ （ $x \neq = 0$ ）。求 $f (3)$ 。

练习 4挑战

$f (x) + f (\frac{1}{1 - x}) = 2 x$ （ $x \neq = 0, 1$ ）。求 $f (3)$ 。

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换元时忘了新变量的取值范围

f (x^{2}) = x + 1

对一切实数

x

成立。令

t = x^{2}

，

x = t

，所以

f (t) = t + 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x$ 可正可负， $t = x^{2}$ 却只能非负，而且 $x = \pm t$ 两个都要满足。取 $x = 2$ 得 $f (4) = 3$ ，取 $x = - 2$ 得 $f (4) = - 1$ ——矛盾。

这个方程无解：不存在这样的函数。代换前后要写清楚新变量的范围，并且用每一个能取到的

x

检验。

「代换要可逆，范围要写清」

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解出来就收工，不代回检验

由方程组消元得到

f (x)

的表达式，于是它就是所求的函数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　消元只证明了“如果 $f$ 满足原方程，那么 $f$ 只能是这个式子”——这是必要条件。有时式子在某些点无定义，或根本不满足原方程。

把求出的

f

代回原方程验算（操作台里的“代回检验”就是做这件事），并注明定义域，例如

x \neq = 0, 1

。

「消元给出候选，代回才算答案」