函数 f(x)=x+a²/x

两项之积是定值 a²，和就有最小值 2a——当且仅当两项相等。拐点 x = a 把 (0, +∞) 分成一降一升两段。

📖 配合《函数与函数方程》§3.3阅读

观察

拖动 $P$ 。两段彩色竖条分别是 $x$ 和 $\frac{a ^{2}}{x}$ ：一段变长，另一段怎样？它们的乘积呢？
什么时候 $P$ 落在虚线“地板” $y = 2 a$ 上？这时两段竖条一样长吗？长方形是什么形状？
把 $P$ 往右拖得很远，曲线和哪条直线越来越近？往左拖到靠近 $y$ 轴呢？
打开“只看区间 $[m, n]$ ”，把区间整个挪到 $x = a$ 的左边或右边。最小值还在地板上吗？

设 $a > 0$ 。 $x > 0$ 时， $x$ 和 $\frac{a ^{2}}{x}$ 是一个面积为 $a^{2}$ 的长方形的两边， $f (x)$ 是它的半周长。面积固定，正方形的周长最小：

f (x) = x + \frac{a ^{2}}{x} = 2 a + (x - \frac{a}{x})^{2} \geq 2 a, 当且仅当 x = a .

$f (x)$ 是奇函数，所以 $x < 0$ 时 $f (x) \leq - 2 a$ ，值域是 $(- \infty, - 2 a] \cup [2 a, + \infty)$ 。图象像一个“对勾”，渐近线是 $y$ 轴和直线 $y = x$ 。

先猜后证

$x > 0$ 时， $x + \frac{9}{x}$ 的最小值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么：最小值与单调性

f(x) = x + 4/x（a = 2）在 (0, +∞) 上

第 1 / 6 步

两项，积为定值
$x = 1$ 时两项是 $1$ 和 $4$ ，和为 $5$ 。不管 $x$ 取多少，两项之积都是 $a^{2} = 4$ 。

$x \cdot \frac{4}{x} = 4$
长方形
正方形时最小
左边一段递减
右边一段递增
区间上的最值

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $x + \frac{a ^{2}}{x} \geq 2 a$

只看右半支，曲线始终在地板 $y = 2 a$ 之上（或恰好在上面）。

练一练

练习 1基础

$x > 0$ ，求 $x + \frac{16}{x}$ 的最小值。

练习 2基础

求 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $[3, 6]$ 上的最小值。

练习 3提高

$x > - 1$ ，求 $y = \frac{x ^{2} + x + 4}{x + 1}$ 的最小值。

练习 4挑战

函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $(0, t]$ 上的最小值是 $\frac{5}{2}$ 。求 $t$ 。

错误博物馆 · 本站展品

离站之前，看看别人在这里踩过的坑。去博物馆看全部展品 →

展品

等号取不到，还说最小值是 $2a$

x + \frac{4}{x}

在

[3, 6]

上的最小值是

24 = 4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x + \frac{4}{x} \geq 4$ 的等号在 $x = 2$ 时成立，而 $2 \in / [3, 6]$ 。在这个区间上，函数值始终大于 $4$ ， $4$ 不是最小值。

[3, 6]

整个在拐点

x = 2

的右边，函数递增，最小值是

f (3) = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}

。

「用均值不等式求最值，先问等号取不取得到」

展品

换元后不看新变量的范围

y = x^{2} + 5 + \frac{1}{x ^{2} + 5} \geq 2

，所以最小值是

2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　等号要求 $x^{2} + 5 = 1$ ，不可能。令 $t = x^{2} + 5$ ，则 $t \geq 5 > 1$ ，在 $t + \frac{1}{t}$ 的递增段上。

最小值在

t = 5

（即

x = 0

）处取得：

5 + \frac{1}{5} = \frac{6 5}{5}

。

「换元之后，先写出新变量的范围」