函数 · 看得见的小蓝本·高中卷

观察

只动 $h$ 。 $h = 2$ 时解析式里出现的是 $x - 2$ ，图象却向右走了 $2$ 。为什么减号对应向右？看 $P$ 和 $P^{'}$ 的坐标。
按“关于 $y$ 轴翻”，解析式里的 $x$ 被换成了什么？再按“关于 $x$ 轴翻”，整个函数值前面多了什么？
换到 $F = ∣ f (x) ∣$ 和 $F = f (∣ x ∣)$ ，比较两条虚线：一个是上下翻折，一个是左右复制。哪个一定是偶函数？
打开水平线 $y = c$ ，把 $c$ 从下往上拖，看“解的个数”什么时候变化。

从 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$ ，当 $A$ 、 $B$ 都是非空数集时就叫函数，记作 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 。 $D$ 是定义域，函数值的集合 $f (D) = {f (x) ∣ x \in D}$ 是值域。决定一个函数的是两样东西：定义域和对应法则。

把每一对 $(x, f (x))$ 画成平面上的点，所有这些点组成函数的图象。所以，“变换图象”就是让每个点各自移动：

点 (a, b) 在 y = F (x) 上 ⟺ 点 (h + μ a, σ b + k) 在 y = σ F (μ (x - h)) + k 上 .

其中 $μ, σ$ 取 $1$ 或 $- 1$ 。验证只需一行：把 $x = h + μ a$ 代入右边， $μ (x - h) = μ^{2} a = a$ ，于是 $y = σ F (a) + k = σ b + k$ 。

先猜后证

$y = f (- x + 1)$ 的图象可以由 $y = f (- x)$ 的图象怎样平移得到？

向左平移

1

个单位向右平移

1

个单位向上平移

1

个单位要看

f

是什么函数

先选定答案，才能看到结论。

为什么：一个点一个点地搬

例：由 y = √x 得到 y = 1 − √(2 − x)

第 1 / 5 步

盯住一个点
在 $y = x$ 上取点 $P (1, 1)$ 。接下来每做一步变换，都看它被搬到了哪里。

$y = x, P (1, 1)$
左右翻：x 换成 −x
向右平移 2：x 换成 x − 2
上下翻：函数值变号
向上平移 1

图象帮你数解

方程 $g (x) = c$ 有几个实数解，就是水平线 $y = c$ 和图象 $y = g (x)$ 有几个公共点。含绝对值的函数，先翻折出图象，答案就摆在眼前。

例：|x² − 2x − 3| = c 有几个实数解？

第 1 / 4 步

先画 |f(x)|
$f (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$ ，零点是 $- 1$ 和 $3$ 。把 $x$ 轴下方的那一段（ $- 1 < x < 3$ ）翻上去，中间鼓起一个“小山”，山顶在 $(1, 4)$ 。

$y = (x - 1)^{2} - 4$
c < 0 与 c = 0
0 < c < 4
c = 4 与 c > 4

练一练

练习 1基础

把 $y = x^{2}$ 的图象向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $3$ 个单位，写出所得图象对应的函数解析式（展开成 $x^{2} + b x + c$ 的形式也可以）。

练习 2基础

把 $y = x$ 的图象先关于 $y$ 轴对称，再向右平移 $3$ 个单位，所得图象对应的函数记为 $y = g (x)$ 。求 $g (- 1)$ 。

练习 3提高

方程 $∣ x^{2} - 2 x - 3∣ = 3$ 有几个实数解？

练习 4挑战

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 。若关于 $x$ 的方程 $f (∣ x ∣) = c$ 恰有 $3$ 个实数解，求 $c$ 。

函数

观察

为什么：一个点一个点地搬

例：由 y = √x 得到 y = 1 − √(2 − x)

图象帮你数解

例：|x² − 2x − 3| = c 有几个实数解？

练一练

错误博物馆 · 本站展品

看见 $+1$ 就往右移

把 $|f(x)|$ 和 $f(|x|)$ 当成一回事