曲线划分平面区域

观察

在许多问题里， $x$ 、 $y$ 之间不是等式 $F (x, y) = 0$ ，而是不等式 $F (x, y) > 0$ 或 $F (x, y) < 0$ 。它们表示的是平面上的区域。

把这些观察合起来就是本节的基本事实：

曲线 $F (x, y) = 0$ 把平面分成若干块，同一块里 $F$ 的符号相同。

原因（ $F$ 是多项式这样的连续函数）：在一块里从一点走到另一点，可以不碰到曲线；如果途中 $F$ 变了号，就得经过一个 $F = 0$ 的点——那一点就在曲线上，矛盾。所以判断一块区域的符号，只要在里面试一个点（常用原点）。这就是试点法。

先猜后证

点 $(2, 3)$ 和 $(- 1, - 1)$ 在直线 $2 x - y + 1 = 0$ 的同侧还是异侧？

同侧异侧其中有一点就在直线上

先选定答案，才能看到结论。

对直线，“同侧同号”可以直接算出来，不必依赖连续性。

第 1 / 5 步

不等式组表示的区域，就是各个不等式区域的公共部分。比如 $x^{2} + y^{2} \leq 9$ 且 $2 x - y + 1 \geq 0$ ：圆盘和半平面的交，下一站求极值时就在这样的区域里找。

Break it

结论：一个点的符号就是整块区域的符号

抛物线 $y^{2} - 4 x = 0$ 。在开口里面试 $(1, 0)$ ： $F = - 4 < 0$ ；外面试 $(- 2, 0)$ ： $F = 8 > 0$ 。各代表一整块。

练习 1基础

点 $(0, 0)$ 、 $(3, 1)$ 、 $(- 2, 4)$ 、 $(1, - 1)$ 中，有几个与点 $(2, 2)$ 在直线 $3 x + 2 y - 4 = 0$ 的同侧？

练习 2基础

点 $(a, 1)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的内部。满足条件的整数 $a$ 有几个？

练习 3提高

不等式组 $x^{2} + y^{2} \leq 4$ ， $y \geq ∣ x ∣$ 表示的区域中，有几个整点（横、纵坐标都是整数的点）？

练习 4挑战

点 $A (1, 2)$ 、 $B (3, - 1)$ 在直线 $y = k x$ 的两侧。 $k$ 的取值范围是一个开区间，求这个区间的长度。