复数的概念及代数运算

观察

选“ $z + w$ ”。绿色的和恰好是以 $z$ 、 $w$ 为邻边的平行四边形的第四个顶点。拖动 $z$ ，平行四边形怎么变？
选“ $z - w$ ”。绿色的点和“从 $w$ 指向 $z$ 的箭头”有什么关系？
选“ $z \times w$ ”，把 $w$ 拖到 $i$ （即点 $(0, 1)$ ）。乘积相对 $z$ 转了多少度？再拖到 $- 1$ 看看。
选“共轭 $\overset{z}{ˉ}$ ”。 $z + \overset{z}{ˉ}$ 和 $z \overset{z}{ˉ}$ 两个读数为什么总是实数？

在实数里添一个新数 $i$ ，规定 $i^{2} = - 1$ ，再允许它和实数做加减乘除，就得到复数 $z = a + bi$ （ $a, b \in R$ ）。 $a$ 叫实部 $Re z$ ， $b$ 叫虚部 $Im z$ 。

$b = 0$ ：实数； $b \neq = 0$ ：虚数； $a = 0$ 且 $b \neq = 0$ ：纯虚数。
两个复数相等，当且仅当实部、虚部分别相等——一个复数等式就是两个实数等式，这叫“化虚为实”。
运算照多项式的规矩来，最后把 $i^{2}$ 换成 $- 1$ ：

(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i .

每个复数 $a + bi$ 对应平面上的点 $(a, b)$ ，也对应从原点出发的向量。这个平面叫复平面：横轴是实轴，纵轴是虚轴。

先猜后证

$(1 + i)^{2}$ 等于多少？

2

2 i

0

2 + 2 i

先选定答案，才能看到结论。

为什么

乘法只是“分配律 + $i^{2} = - 1$ ”；除法则靠一个小技巧：分母乘以它的共轭 $\overset{w}{ˉ}$ ，因为 $w \overset{w}{ˉ} = c^{2} + d^{2}$ 是一个正实数，分母就“实化”了。

一乘一除：(1+2i)(2−i) 与 (4+3i)÷(1+2i)

第 1 / 5 步

摆好两个数
$z = 1 + 2 i$ ， $w = 2 - i$ 。先猜一猜乘积会落在第几象限。

$(1 + 2 i) (2 - i) = ?$
像多项式一样展开
把 i² 换成 −1
反过来除：分母实化
回到了出发点

共轭还有几条好用的性质： $\overline{z_{1} \pm z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \pm \overset{z}{ˉ}_{2}$ ， $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \overset{z}{ˉ}_{2}$ ， $z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ ， $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ 。特别地， $z$ 是实数 $⟺ \overset{z}{ˉ} = z$ ； $z$ 是纯虚数 $⟺ \overset{z}{ˉ} = - z$ 且 $z \neq = 0$ 。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $a + bi = 0$ 推出 $a = b = 0$

$a, b$ 是实数时， $a + bi$ 就是复平面上的点 $(a, b)$ 。它等于 $0$ ，只能是原点，所以 $a = 0$ 且 $b = 0$ 。

这正是“化虚为实”的依据：比如由 $(x + 2 y) + (x - y) i = 3$ （ $x, y$ 为实数）立刻得到 $x + 2 y = 3$ 、 $x - y = 0$ ，解出 $x = y = 1$ 。

练一练

练习 1基础

计算 $(3 + 2 i) (1 - 4 i)$ ，结果写成 $a + bi$ 的形式。

练习 2基础

实数 $m$ 取什么值时， $z = (m^{2} - 3 m - 4) + (m^{2} - 1) i$ 是纯虚数？

练习 3提高

复数 $z$ 满足 $z + 2 \overset{z}{ˉ} = 6 - i$ 。求 $z$ （写成 $a + bi$ 的形式）。

练习 4挑战

计算 $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2026}$ 。

观察

为什么

一乘一除：(1+2i)(2−i) 与 (4+3i)÷(1+2i)

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

纯虚数只要实部为 0？

把 √a·√b=√(ab) 搬到负数上