元素与集合

观察

不揭晓答案，把 $1 \sim 12$ 逐个判一判。哪些数你一眼就能写成 $a^{2} - b^{2}$ ？
点“揭晓”，再点“按除以 $4$ 的余数排”。有一整行没有一个数属于 $S$ ，是哪一行？
点一个不属于 $S$ 的数，读一读它为什么不属于。
再点一个属于 $S$ 的数。机器给出的写法唯一吗？比如 $15$ 还能写成哪两个平方数的差？

集合 $S = {x ∣ P (x)}$ 的意思是： $S$ 的元素恰好是具有性质 $P$ 的那些对象（概括原则）。判断 $x \in S$ ，就是判断 $x$ 有没有性质 $P$ 。性质写得清楚，集合就是确定的；可“写得清楚”不等于“判得容易”——上面那一行全空，是要证明的，不是看出来的。

先猜后证

$S = {x ∣ x = a^{2} - b^{2}, a, b \in Z}$ 。 $2026$ 属于 $S$ 吗？

属于不属于数太大，判断不了

先选定答案，才能看到结论。

为什么

要证的是两个集合相等： $S = {x \in Z ∣ x 除以 4 不余 2}$ 。左边的描述难判断，右边的描述一眼就能判断。

谁是两个平方数的差

第 1 / 5 步

奇数都在
奇数 $2 k + 1$ 是两个相邻平方数的差。图中“余 $1$ ”“余 $3$ ”两行全部属于 $S$ 。

$2 k + 1 = (k + 1)^{2} - k^{2}$
4 的倍数都在
平方数除以 4
差不会余 2
两种描述，同一个集合

换一个性质：平方和

把“差”换成“和”： $T = {x ∣ x = a^{2} + b^{2}, a, b \in Z}$ 。还是按除以 $4$ 的余数排一排。

哪一行全空？其余各行是不是都满了？

“余 $3$ ”那一行全空，理由和上面一样：两个平方数相加，模 $4$ 只能是 $0, 1, 2$ 。但这一次反过来不成立： $21$ 、 $33$ 余 $1$ ，却不是两个平方数的和。“除以 $4$ 不余 $3$ ”只是属于 $T$ 的必要条件，换不成 $T$ 的另一种描述。

元素的三个特性

集合的元素有三个特性，每一个都会在解题时咬人：

确定性：给定对象，在或不在，必居其一。“很大的数”组不成集合。
互异性：同一个元素只算一次。 ${1, 2, 2}$ 就是 ${1, 2}$ ，是二元集。
无序性： ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$ 。

元素的个数记作 $∣ A ∣$ 。由于互异性， ${x + y ∣ x, y \in A}$ 这类集合的元素个数，往往比“组合的个数”少得多——下面的练习就是在数“去重以后还剩几个”。

练一练

练习 1基础

$1, 2, \dots, 100$ 中，有多少个数能写成两个整数的平方差？

练习 2基础

$A = {1, 3, 4, 8}$ ， $B = {x - y ∣ x \in A, y \in A}$ 。求 $∣ B ∣$ 。

练习 3提高

已知 $1 \in {a, a^{2}, 3 a - 2}$ ，且这是一个三元集合。求 $a$ 。

练习 4挑战

$1, 2, \dots, 100$ 中，有多少个数能写成 $a^{2} - b^{2}$ ，其中 $a, b$ 都是正整数？

观察

为什么

谁是两个平方数的差

换一个性质：平方和

元素的三个特性

练一练

错误博物馆 · 本站展品

解出参数，忘了回头查互异性

把 ∅ 和 {∅} 当成同一个东西