奇偶性

观察

设 $f (x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。若对任意 $x \in D$ 都有 $f (- x) = f (x)$ ，则 $f (x)$ 是偶函数；若都有 $f (- x) = - f (x)$ ，则 $f (x)$ 是奇函数。

偶函数 ⟺ 图象关于 y 轴 对称, 奇函数 ⟺ 图象关于 原点 对称 .

对多项式来说，这只看次数：只有偶次项（含常数项）是偶函数，只有奇次项是奇函数。

先猜后证

$f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 。求 $f (- 1)$ 。

先选定答案，才能看到结论。

只要定义域关于原点对称，就有

f (x) = g (x) \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} + h (x) \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2} .

第 1 / 5 步

它既不奇也不偶
对折：虚线副本 $f (- x)$ 和原图象不重合；转半圈： $- f (- x)$ 也不重合。两盏灯都是 ✗。

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$
取平均，造出偶函数
取半差，造出奇函数
在一个点上验证
拆法是唯一的

Break it

结论： $f (x) = x^{2}$ 是偶函数

定义域是 $[- 3, 3]$ 。对任何 $x_{0}$ ， $A$ 和 $B$ 一样高，对折后副本与原图象完全重合。

练习 1基础

函数 $f (x) = (x + a) (x - 4)$ 是偶函数，求 $a$ 。

练习 2基础

$f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} + x$ 。求 $f (- 2)$ 。

练习 3提高

$f (x) = a x^{3} + b x + 2$ ，已知 $f (- 3) = 5$ 。求 $f (3)$ 。

练习 4挑战

把 $f (x) = 2^{x}$ 写成一个偶函数 $g (x)$ 与一个奇函数 $h (x)$ 之和（定义域都是 $R$ ）。求 $g (1)$ 。