柯西不等式解方程组与求极值

这一招在做什么

一般说来， $n$ 个未知数要 $n$ 个方程。可柯西不等式给了一条额外的信息：

(a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) .

如果已知条件让两边恰好相等，等号成立的条件就是一整串方程 $\frac{x _{1}}{a _{1}} = \frac{x _{2}}{a _{2}} = \dots = \frac{x _{n}}{a _{n}}$ 。

求极值是同一件事反过来看：在平方和固定时，乘积和的最大值就是柯西的界，最大值点就是等号成立的点。

先猜后证

方程组 $x^{2} + y^{2} = 5$ ， $x + 2 y = c$ 恰好有一组实数解。这样的 $c$ 一共有几个？

0

个

1

个

2

个无穷多个

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

先看看一般的 c
两个方程、两个未知数，看起来要消元。先让 $c = 3$ ：直线把圆切出两个交点，方程组有两组解。

$x^{2} + y^{2} = 5, x + 2 y = 3$
柯西给的界
把 c 推到界上
等号被逼成立
同一张图，看成求极值

三个未知数时画不出图，但推理一字不改。例如 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ， $2 x - y + 2 z = 9$ ：

(2 x - y + 2 z)^{2} \leq (4 + 1 + 4) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 81,

而左边恰好是 $81$ 。所以 $(x, y, z) = k (2, - 1, 2)$ ，代入得 $9 k = 9$ ，唯一解 $(2, - 1, 2)$ 。两个方程，三个未知数，解却唯一——第二个方程把柯西逼到了墙角。

Break it

结论：方程组有唯一解

$c = 5$ 正好是界，直线与圆相切，交点唯一。

练习 1基础

实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ 且 $2 x - y + 2 z = 9$ 。求 $x + y + z$ 。

练习 2基础

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4$ 。求 $3 x + 4 y$ 的最大值。

练习 3提高

实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 5$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$ 。求 $c$ 的最大值。

练习 4挑战

实数 $x, y, z$ 满足 $x + 2 y + 2 z = 8$ 。求 $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2}$ 的最小值。