三角形中的恒等式与面积

这一招在做什么

三角形的三个角满足 $A + B + C = π$ ，所以只要知道两个角，第三个就定了。几乎所有三角形里的恒等式都靠这一句：

C = π - (A + B) ⇓ sin C = sin (A + B) cos C = - cos (A + B) tan C = - tan (A + B)

半角也一样： $\frac{C}{2} = \frac{π}{2} - \frac{A + B}{2}$ ，所以 $sin \frac{C}{2} = cos \frac{A + B}{2}$ 。

上面的试验台把同一件事画成了一把扇子： $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三块拼起来，正好是一个平角。

先猜后证

$△ A B C$ 中 $tan A = 1$ ， $tan B = 2$ 。 $tan C$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

先看数
$A = 7 0^{\circ}$ ， $B = 5 0^{\circ}$ ， $C = 6 0^{\circ}$ 。左右两边算出来一样。要证明的是：换成任何三角形都一样。

$tan A + tan B + tan C = ? tan A tan B tan C$
消掉一个角
用和角公式展开
去分母，移项
直角三角形除外

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ 是起点。把边换成 $2 R sin A$ 之类，或者把三角形从内心切成三块，就得到其他写法。

第 1 / 5 步

Break it

结论： $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$

三个角来自一个真的三角形， $C$ 由 $A$ 、 $B$ 决定。换哪个恒等式都成立。

练习 1基础

$△ A B C$ 中 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $C = 3 0^{\circ}$ 。求面积 $S$ 。

练习 2提高

三角形三边长为 $13$ 、 $14$ 、 $15$ 。求它的外接圆半径 $R$ 。

练习 3提高

$△ A B C$ 中 $tan A = 2$ ， $tan B = 3$ 。求角 $C$ 的度数。

练习 4挑战

$△ A B C$ 满足 $sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C = 2$ 。求它的最大角（度）。