高阶等差数列与差分方法

这一招在做什么

对数列 $\{a_n\}$ 作相邻两项之差，得到一阶差分 $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n$；对差分再作差分，得到二阶差分 ${\Delta }^2{a}_n$，依此类推。如果 $p$ 阶差分是一个非零常数，就称 $\{a_n\}$ 为 $p$ 阶等差数列。（一阶等差数列就是普通的等差数列。）

关键事实：$p$ 阶等差数列的通项恰好是 $n$ 的 $p$ 次多项式。因为 $(n+1{)}^p-n^p$ 的最高次项抵消了，每作一次差分，多项式的次数就降一次。

1. 一行一行地作差分，直到出现常数行。
2. 在常数行末尾再写一个同样的常数，从下往上加回去：得到下一项。
3. 用表的左边一列写出通项（牛顿公式）：

跟着做一遍

为什么左边一列就够了？${\mathrm{C}}_{n-1}^k$ 在 $n=1,2,\dots ,k$ 时都是 $0$，在 $n=k+1$ 时是 $1$。所以牛顿公式在 $n=1$ 时只剩 $a_1$，在 $n=2$ 时只剩 $a_1+\Delta a_1=a_2$……它是一个“逐项对准”的公式，正好和差分表的结构配套。

什么时候不灵

练一练